《多元统计》上机题

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1、上机实习一P75l例3-5已知描述我国各省居民消费的八项指标，请同学们用SPSS软件完成如下任务1）通过求相关系数，用系统聚类法完成对八个指标的聚类。2）通过用类平均法，用系统聚类法完成对省份的聚类。复习问题1将类与合并成，其中样品数分别为且，用重心法求某与的距离为问题2将类与合并成，其中样品数分别为且，用类平均法求某与的距离为问题11.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。2设二维随机向量服从二元正态分布，写出其联

2、合分布。解：设的均值向量为，协方差矩阵为，则其联合分布密度函数为。3已知随机向量的联合密度函数为其中，。求（1）随机变量和的边缘密度函数、均值和方差；（2）随机变量和的协方差和相关系数；（3）判断和是否相互独立。（1）解：随机变量和的边缘密度函数、均值和方差；所以由于服从均匀分布，则均值为，方差为。同理，由于服从均匀分布，则均值为，方差为。（2）解：随机变量和的协方差和相关系数；（3）解：判断和是否相互独立。和由于，所以不独立。4设服从正态分布，已知其协方差矩阵S为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。解：因为的密度函数为又由于则则其分量是相互独立。6渐近无偏性、有效性和

3、一致性；7设总体服从正态分布，，有样本。（由于是相互独立的正态分布随机向量之和）问服从何分布。解所以。8证明为的无偏估计方法1：。方法2：。故为的无偏估计。9.设是从多元正态分布抽出的一个简单随机样本，试求的分布。证明：设为一正交矩阵，即。令，所以。且有，，。所以独立同分布。又因为因为又因为所以原式故，由于独立同正态分布，所以10.设是来自的简单随机样本，，（1）已知且，求和的估计。（2）已知求和的估计。解：（1），(2)解之，得，问题211试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。其基本思想和步骤均可归纳为：答：第一，提出待检验的假设和H1；第二，给出

4、检验的统计量及其服从的分布；第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。均值向量的检验：统计量拒绝域在单一变量中当已知当未知（作为的估计量）一个正态总体协差阵已知协差阵未知（）两个正态总体有共同已知协差阵有共同未知协差阵（其中）协差阵不等协差阵不等多个正态总体单因素方差多因素方差协差阵的检验检验检验统计量12试述多元统计中霍特林分布和威尔克斯分布分别与一元统计中t分布和F分布的关系。答：（1）霍特林分布是t分布对于多元变量的推广。而若设，且与相互独立，，

5、则称统计量的分布为非中心霍特林T2分布。若，且与相互独立，令，则。（2）威尔克斯分布在实际应用中经常把统计量化为统计量进而化为统计量，利用统计量来解决多元统计分析中有关检验问题。与统计量的关系统计量及分别任意任意1任意任意21任意任意2任意任意13试述威尔克斯统计量在多元方差分析中的重要意义。答：威尔克斯统计量在多元方差分析中是用于检验均值的统计量。用似然比原则构成的检验统计量为给定检验水平，查Wilks分布表，确定临界值，然后作出统计判断。问题314简述欧几里得距离与马氏距离的区别和联系。答：设p维欧几里得空间中的两点X=和Y=。则欧几里得距离为。欧几里得距离的局限有①在

6、多元数据分析中，其度量不合理。②会受到实际问题中量纲的影响。设X,Y是来自均值向量为，协方差为的总体G中的p维样本。则马氏距离为D(X,Y)=。当即单位阵时，D(X,Y)==即欧几里得距离。因此，在一定程度上，欧几里得距离是马氏距离的特殊情况，马氏距离是欧几里得距离的推广。15试述判别分析的实质。答：判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来。设R1，R2，…，Rk是p维空间Rp的k个子集，如果它们互不相交，且它们的和集为，则称为的一个划分。判别分析问题实质上就是在某种意义上，以最优的性质

7、对p维空间构造一个“划分”，这个“划分”就构成了一个判别规则。16简述距离判别法的基本思想和方法。答：距离判别问题分为①两个总体的距离判别问题和②多个总体的判别问题。其基本思想都是分别计算样本与各个总体的距离（马氏距离），将距离近的判别为一类。①两个总体的距离判别问题设有协方差矩阵∑相等的两个总体G1和G2，其均值分别是m1和m2，对于一个新的样品X，要判断它来自哪个总体。计算新样品X到两个总体的马氏距离D2（X，G1）和D2（X，G2），则X，D2（X，G1）D2（X，G2）X，D2（X，G1）>D2（X，G2，