三重积分变量替换公式的证明及应用

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1、第27卷第8期208年8月怀化学院学报JOURNALOFHUAIHU^UNIVERSrrYV01．2"7．No．8Aug．．2008三重积分变量替换公式的证明及应用潘劲松(湖南机电职业技术学院，湖南长沙410151)擒耍：首先总蛄了已有的关于三重积分变量替换公式的证明方法。然后利用Cam公式。蛤出了三重积分变量替换公式的一种新证法．并蛄舍吴休的实际模型将所获得的结果进行了应用．关■调：三重积分；由面；偏导敷；变量警关中圈分类号：017文■标识玛：A文章■号：1671—974312008)憾一0094—04O引言三重积分变量替换公

2、式的证明方法很多，大体可分为两类：一类是局部地以线性变换代替非线性变换，得到在该变换下两小块对应体积的近似关系．然后通过Riemann积分定义证明公式成立．定理‘1’设替换公式r：X：善(Ⅱ，舻，")，y：y(If,，舻，埘)，Z=z(u，舻，t1#)，将啪空间中的区域矿一对一地映成舻空问中的区域y，茹，y，z关于“，分，印在矿内有连续的二阶偏导数且它们的函数行列式“mm埘)=揣≠o。(咖，埘)∈矿．dI“，影，∞，’则区域I，的体积s(y)=f-lIl-，(Ⅱ，p，埘)Idudvdw．。∥证明用平行于坐标面的平面网把旷分成n个

3、小空间区域旷；，在变换r作用下，空问区域y也相应地被分成It个小空间区域H．记P。与K的体积为S(旷。)与S(K)(i=1，2，⋯，n)．由定理及三重积分的中值定理，有s(K)=lll¨(Ⅱ．舻，埘)IdudvdwJ萨?=I．，(嘶，吼，毗)IS(矿。)I，其中(i，一f)i，面)∈矿。(i=1，2，⋯，n)．令￡=量(i，百，百)，玑=y(i．i，百)，￡=孑(“‘，舻‘，毗)。则(￡，"幺)∈II,(i=1，2。⋯．n)．作三重积分，沙x,y,z)出匆出的积分和口=∑，(￡，研，五)s(¨=∑，(善(i，i，百)．，，(i，

4、i，瓦)，i·Iz(百，i，i))1．，(百，百，瓦)ls(矿。)．上式右边的和式是r上可积函数，(髫(u。可，留)，y(u。田，")。z(Ⅱ，雷，埘)I．，(u，舻。印)I的积分和r．又由替换7．的连续性可知．当P的分割“：(n7，吒7，⋯。K’)的细度0n0—0时，y相应的分割Tv：{U，也，⋯，K)的细度0凡』也趋于零．因此得到缈(x,y,z)d互dyd,=缈㈧⋯㈠州⋯，叫)。z(扯。钞，叫))I_，(u，F，硼)Idudvdw．1三重积分变量替换公式及证明定型21设以善，y，z)在空间区域y上连续。变换r：X=髫(U，舻

5、．伽)，Y=，，(u，矽。")，Z=：(u，口，")。将m聊空间中的区域矿变换为xyz空问中的区域y，并且满足(I)变换是一一对应；(Ⅱ)髫，y，：关于U。口，埘在矿内有连续的二阶偏导数；(1lI)变换的雅可比行列式粼≠o，则收稿日期：2008—07—20作者简介：潘劲松(196s一)．另．湖南常德人-湖南机电职业技术学院高级讲师，硕士．主要研究高职教育管理、教学课程改革和高等教学教学等．第27卷第8期潘劲松：三重积分变量替换公式的证明及应用。95‘-ff(x,y,z)dxdydz=胁V算(ttgVgW)’y㈠”，此zcu∽训l

6、嬲ld“幽饥，证明设空间区域V，矿分别由曲面S，S’围成．则在上述变换下，曲面S与S’上的点一一对应．引进辅助函数F(x，Y，z)=I，(I，Y，z)dt，则．，，J10，(茗，，，，z)在y上连续，且瓦aF=，(石，，，，z)，由Gauss公式眇”，z)dxdydz=Ⅲ业≮蚴：卅(”，z)dydz．(1)设曲面S7的参数表达式为u=u(t，s)，t，=口(t，s)，埘=埘(t，s)，(t，s)∈D．则曲面S的参数表达式为茗=石(Ⅱ(t，s)，口(t，s)，叫(t，s))Y=Y(u(t，s)，t7(t，s)，t￡J(t，s))z

7、=z(Ⅱ(t，s)，口(f，s)，加(t，s))，(t，s)∈D．为了简化记号，设，(Ⅱ，秽，埘)=F(戈(n，”，钾)，Y(“，秽’，加)，二(“，秽，埘))，于是，由曲面积分的定义耄F(x,y,z№d他=1,0(t，s)]{f7[u(t，s)，秽(t，s)，渊触=舻础㈡州∽h㈠圳筹生as一生as警t]dtds=+扩猫批+7糕删埘+7貉幽批(2)其中±号依赖于当a(t，s)在D内移动时，点(茹，Y，孑)在S中环行的方向与点(u，t，，埘)在S7中环行的方向是相同还是相反．令P=F，Q=7揣，R=7剿，因为P，Q，尺在矿上连续，

8、且有连续便导数，由Gauss公式垂．f尸d”d加+Qdtt，dⅡ+Rdudv挚)dud。d埘．d埘所以』胪If(aeuaQ+而+筹：等糕+-F(da2yau3。完a+Ⅱ一aua(秽，埘)7d口埘。立丝awaⅡa"aya埘a2z、丽)，a2三awBu等：萼筹高+7