B4球坐标、变量替换及重积分应用（网

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1、本节课主要内容3.空间曲面的面积1.在球坐标系中计算三重积分质量与质心p.48题2图2.三重积分的变量替换参数方程表示的曲面13.4在球坐标系中三重积分的计算（有限）球体对应球坐标中的长方体23例6解145例7解由对称性采用球坐标.6附注此题用柱坐标解将比较简单，因为…73.4三重积分的变量替换定理3且变换的Jacobi行列式又设变换则有证明从略可以除去一个零体积集8例如柱坐标变换：其Jacobi行列式球坐标变换其Jacobi行列式9例8（椭球坐标变换）解作椭球坐标变换，令则Jacobi行列式10问题椭球的体积？11另一解法则而且然后作球坐标变换.12§

2、4重积分的应用举例几何应用面积、体积、物理应用质量、质心、转动惯量、力曲面面积定积分应用的推广可加性问题分割、取点、求和、取极限微元法连续体的离散化134.1重积分的几何应用例1所围区域的体积V.解方程为即14作广义极坐标变换：此时15空间曲面的面积光滑曲面曲面在每点处都有切平面，的法向量随着曲面上的点连续地变动.且切平面分片光滑曲面由有限块光滑曲面组成的曲面.回忆以直代曲(ii)光滑曲面zf(x,y)在一点处的法向量设曲面S的方程为16现求曲面S的面积.设M(x,y,z)是曲面上一点，dS是曲面微元.（面积也分别记又设曲面在M点的单位法向量以平代曲1

3、7称为曲面面积元素.于是，曲面面积例1由对称性，所求面积等于曲面在第一卦限解部分S1的8倍.18RR被积函数特点(p.40)?R19其中的函数都具有连续的一阶偏导数，现求设P0(x0,y0,z0)是曲面上一点，对应参数(u0,v0)曲面的面积.上册p.337即考虑曲面上过P0点的两条曲线：关键是法向量给出，20它们在P0点的切向量分别为其中轮换21又有则曲面面积元素22从而由参数方程表出的曲面的面积例4面积.解所求面积23例5解球面的参数方程为24补注连续曲面可以用一个由三角形构成的多个三角形的内角都必须0，因此，球面面积面形来逼近，三角形的

4、顶点都在曲面上，不过每一否则有著名的Schwarz反例.254.2物体的质量与质心质量平面薄片D的质量空间物体的质量质心设物体占据空间区域,有连续的体微元的质量取一微元.微元对各坐标面的静力矩分别为点密度26则质心对各坐标平面的静力矩为27例6求由两圆周解类似可得平面薄板D的质心28两个圆周的极坐标方程分别为及29例7求密度均匀的半球体：的质心.解不妨设1.由对称性p.48题6,730