复积分的计算方法及应用 -毕业论文

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1、【标题】    复积分的计算方法及应用【作者】舒洪【关键词】复积分  柯西积分定理  柯西积分公式  留数定理【指导老师】王进【专业】数学与应用数学【正文】【标题】    复积分的计算方法及应用【作者】舒洪【关键词】复积分  柯西积分定理  柯西积分公式  留数定理【指导老师】王进【专业】数学与应用数学【正文】【标题】    复积分的计算方法及应用【作者】舒洪【关键词】复积分  柯西积分定理  柯西积分公式  留数定理【指导老师】王进【专业】数学与应用数学【正文】【标题】    复积分的计算方法及应用【作者】舒洪【关键词】复积分  柯西积分定理  柯西积分公式  留数定理

2、【指导老师】王进【专业】数学与应用数学【正文】【标题】    复积分的计算方法及应用【作者】舒洪【关键词】复积分  柯西积分定理  柯西积分公式  留数定理【指导老师】王进【专业】数学与应用数学【正文】1 引言在复变函数的分析理论中,复积分是研究解析函数的重要工具. 解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算中理论上处于关键地位, 柯西积分公式、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.留数定理不仅可以用来计算复积分，而且可以用来计算实积分，它把实积分和复积分的相关知识有机的结合起来.2003年2月高等函授学院的张昆实教授

3、研究的《留数定理与复变函数的积分》，讨论了留数定理与复变函数积分之间的内在联系，并举例说明了留数定理、柯西积分定理、柯西积分公式和柯西高阶导数公式之间的密切关系.2006年3月淮南师范学院的崔东玲研究的《复积分的计算方法》，他通过变量代换、柯西积分公式、柯西积分定理、留数定理从中揭示诸多方法的内在联系.他们在研究复积分的计算方法这一方面取得了许多进展，证明了复变函数积分的计算方法.复变函数积分的计算方法灵活多样，而目前对复变函数积分的计算方法作出较系统的归纳却很少见.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、

4、柯西积分公式、柯西高阶导数公式、 留数定理等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧. 2 用参数方程法计算复积分       设有光滑曲线 :        于是 在区间 上连续且不等于零.又设函数 沿曲线 连续,则                             （2-1）或者写成         （2-2）[1]例1 计算积分 ,其中 为:(1) 连接点 与 的直线段;(2) 连接点 与 的直线段及连接点 与 的直线段所组成的折线.解 (1) 连接点 与 的直线段的参数方程为 

5、                                      所以由积分公式（2-1）得                        (2)  连接点 与 的直线段的参数方程为:                              :            连接点 与 的直线段的参数方程为:                              :         所以由复积分的基本性质和积分公式（2-1）得 例2 计算积分 , : 上从1到-1.解 设  ,  ,所以 ,故   通过上面两个例子,我们知道在计算沿光滑曲线的复变函数积分时候,可利

6、用曲线的参数方程把复积分化为定积分，这是计算复积分的基本方法.凡是在定积分和线积分中使用的技巧,在这里都可以照常使用.在解题的时候要注意曲线 用参数方程来表示时,正方向是参数增大的方向.参数的取值应与起点和终点相对应,且 .在分段光滑曲线时,要注意各段曲线的起点与终点所对应的参数值的准确性.3 用柯西积分定理及其推论计算积分3.1 柯西积分定理如果函数 在 平面上的单连通区域 内解析,  为 内任意一条简单闭曲线,那么一定有                                    （2-3）[2]3.2 柯西积分定理的推论设 是一条简单闭曲线,  是在 内部

7、的简单闭曲线,它们互不包含也不相交, 是以 为边界的多连通区域，若函数 在 内解析,在 上连续.则                                       (2-4)或者写成                           (2-5)(见文献[1]-[10])例3 计算积分 解 当 时，由于 因此，函数 在单位圆周上及其内部无零点，从而被积函数 在 及其内部解析，由柯西积分定理得                                 例4 计算 的值， 为包含圆周 在内的任何正向简单闭曲线.解