毕业论文浅探定积分的计算方法及应用

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1、浅探定积分的计算方法及应用摘要：本论文主要讨论了定积分计算屮的几个技巧及其十分广泛的应用。对于定积分的计算，不但要掌握方法，更重耍的是培养能力。面对冗长的计算除了耐心、细致、准确Z外，还要讲求效率。因此，掌握简便的计算方法十分必要。本文介绍利用公式、含参量积分、对称性、周期函数的性质、方程、二重积分、欧拉公式、泰勒级数求解定积分的技巧。而定积分是微积分中的重耍内容，它是解决许多实际问题的重要工具，本文也主要研究定积分在不等式、求极限、经济学、微元法、极坐标小的应用。关键词：定积分；公式；含参量；对称；周期；方程；二重积分

2、；欧拉公式；泰勒级数；不等式；极限；经济；微元；极坐标目录1定积分的基本概念11.1定积分的定义11.2定积分的几何意义12定积分计算的方法和技巧12.1利用公式计算12.2用含参量积分的性质计算定积分22.3利用对称性计算定积分32.4利用周期函数的性质计算定积分42.5方程式求解52.6利用二重积分计算定积分52.7利用欧拉公式计算定积分62.8利用泰勒级数求定积分63定积分的应用73.1定积分在不等式上的应用73.2定积分在求极限上的应用83.3定积分在经济学中的应用93.4定积分的应用一微元法93.5极坐标上定积

3、分的应用10参考文献121定积分的基本概念1.1定积分的定义设函数/(X)在区间［d,b］上连续，用任意的分点X］,X2,•••%„_!且a=x0

4、

5、Ax,.

6、

7、=max{Ax.}o在每个小区间［和托］上任取一点并作和式£/(即心,<1)/=1如果当

8、

9、x

10、

11、tO吋，和式(1)的极限存在，那么就称函数/(兀)在区间［。,切上可积

12、，这个极限值称为/⑴在［以］上可积，记作［f^dx,即Er跖存)从，1.2定积分的几何意义对于区间［以］上连续函数/(x),定积分［fx)dx的几何意义是：直角坐标系内，在轴上方的各曲边梯形而积Z和与在轴下方的各曲边梯形而积Z和的差。2定积分计算的方法和技巧关于定积分的计算方法，像用定积分的定义计算、分部积分法和换元法在教科书中有所介绍。但这仅仅只是一-些常用的方法，对于一些重要积分的计算，就显得太复朵而不适用。下面介绍几种定积分的计算技巧供参考。2.1利用公式计算公式:设/(兀)是连续函数，则有：(0£/(x)6/x

13、=［［/(x)+/(-x)］^o(2)fyx)clx=+f(2a-x)］dx这两个公式的证明可利用换元法易证。兀1例1计算R—［—dxJ-l+sinx解：利用公式(1)■例2计算dx解：利用公式(2)得:2.2用含参量积分的性质计算定积分有些定积分，用换元法和分部积分法不易计算出来，甚至有的函数的原函数不能用初等函数表示出来，此时可借助于含参量积分。在被积函数屮引入参量化成含参量积分或将被积函数化为含参量积分。利用含参量积分的性质：积分号下可求导性或积分顺序可交换性计算定积分。(2)1=~dx(&>6/>0)o」)l

14、nx解：(1)引入参量Q于是/(0)=0I=7(1)r(a)=f—x—-—dx」)1+兀i--ax二[-In2+—-ln(l+a)1+/24再积分得[la)da=^ln2-/(l),从而2“1)=-ln2,TT丁•是I=/(I)=—In2o8Yb"(2)先将被积函数表示为含参量积分丄xydy,再将定积分化为二次积分，利用积分顺序可交换性知ky+1a+1其方法如下:1利用积分号卜•可求导性计算定积分的方法与步骤。a.在所计算的定积分/的被积函数.f(x)中引进参量&化为含参量积分/(a);定积分/是2)的一个值，一般取

15、I=1(a)或—(b)；b.求岀/f(a)=G(a)；c.再积分£la)da=

16、G{a)da=1(b)-1(a)d.由/(/?)—/(a)=(G(a)da解出/(d)或/(b)即得所求/o2利用积分顺序可交换性计算定积分的方法和步骤。a.将所求定积分/=^f(a,b,x)dx的被积函数/(a,b,x)化为参量积分^fx,y)dy;b.将定积分/化为累次积分/=£JxJf(x,y)dy；c・利用积分顺序可交换性得/=fdyff(x,y)dx□2.3利用对称性计算定积分⑴利用对称性区间上的奇偶性计算定积分。如果/(兀)为

17、奇函数，则Jf(x)dx=0；如果/⑴为偶函数，则£f(x)dx=2^f(x)dxo解“因为沖是偶函数，积分区间是对称的，所以(f(x)clx令t=-x^f{-x)dx,所以有£/(x)t/x=£/U)Jx+^f(x)dx=(/(—x)dx+^f(x)dx=([/(兀)+/(—x)]dx如果/(x)+/(-%)比/⑴