浅述定积分的计算方法

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1、兰州文理学院学生毕业论文题目：浅谈三角形的五心作者：杨旭杰指导老师：杨海霞师范学院数学系数学教育专业2011级三年制4班2014年01月05日主要内容简介：本文就三角形的五个心作了简单的表述，因三角形的五心概念抽象、定理较多容易哄笑，我们不仅在理论学习中难以理解掌握，在定积分计算中难度也很大，往往面对一个题目不知道怎样做，所以本文中归纳了几种常见的例题，为初学者提供更方便以便于读者一次性将其三角形的重心、内心、外心、垂心、旁心学习的更加清楚，其中有利用定义计算定积分、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等。定积分的计算方法和技巧很多，同时定积分的计算方

2、法不是各自孤立的，很多题目都可能是几种计算方法联合使用，只有多练习才能熟能生巧。定积分是某种特殊和式的极限,定积分不仅是积分学的基础，而且是概率统计、复变函数等课程的重要知识工具，因此，本文现就教材中常用的五心加以归纳,以便在学习的过程中,对积分有一个系统的了解。浅述定积分的计算方法摘要：定积分的概念抽象、定理较多，我们不仅在理论学习中难以理解掌握，在定积分计算中难度也很大，往往面对一个题目不知道怎样做。对定积分计算方法的掌握程度,会直接影响后续课程的学习,因此，本文现就教材中常用定积分计算方法加以归纳,以便在学习的过程中,对积分有一个系统的了解.关键词：内

3、心；外心；重心；垂心；旁心定积分的概念是学习定积分的基础，它上承导数、不定积分，下启定积分的应用、重积分、曲线积分、曲面积分。定积分是积分学的一个基本问题，在理论研究和实际应用中，许多问题都可以归结为计算题，可以说它是计算许多实际问题的数学工具，因此定积分的计算是很重要的。一、利用定积分定义计算定积分定积分的思想方法是:“分割、取近似、求和、求极限”,实质是在连续区间上求和，为计算方便一般是将区间分成n等份，每一个小区间的长中的取消区间的端点坐标，先作出积分和，然后令，这时必有算出积分的极限，我们通过例子来说明定积分定义的含义。例1：用定积分定义计算定积分解

4、：将区间分作等份，则分点的坐标为小区间长度，取（小区间的有端点），作为积分和==于是=注：一般来说，用定义计算定积分是十分麻烦的，实际计算中，并不用上述方法。二、利用牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式计算定积分若函数在上连续，且存在原函数F，即，则在上可积且，这就是Newton-Leibniz公式．由此看出：Newton-Leibniz公式刻画了定积分与不定积分的紧密联系，它使得计算定积分时，只要找到被积函数的某个原函数，在b,a两点的函数值的差就是所求的定积分.Newton-Leibniz公式是最基本的定积分计算公式，而找到的原函数是应用这

5、个公式的关键，所以，熟练使用Newton-Leibniz公式的关键是对不定积分计算的相当熟练.例2.计算下列定积分：；；；解:.三、利用定积分对积分区间的可加性和分段计算定积分如果被积函数含有绝对值或平方根时，应按绝对值内或平方根被开方式子的正负号将积分区间分段求定积分的代数和.同样，对分段函数的定积分，也一个按分段情况逐段积分.分段求定积分的几种情况：（1）在积分区间内，被积函数是分段函数时要用定积分对区间的可加性:先在各区间分段分别计算积分，然后相加。（2）被积函数含最大值或最小值符号时，先将最大值或最小值符号去掉，表示成分段函数，再求积分。（3）被积函

6、数含取整函数时，要用定积分对区间的可加性求定积分。（4）被积函数含绝对值符号时，先把绝对值符号去掉，表示成分段函数再求积分。（5）被积函数偶次方根开方时一般要取绝对值，然后按（4）所述求定积分。（6）对变上限的定积分，先讨论和确定变限的取值范围。求积分时，下限固定，按上限的取值范围分别求定积分。（7）被积函数含参量时，假设t是积分变量是参变量。在求积分时，是常数，但又可任意取值。先确定的可能取值范围，按的取值范围分别求积分。做以下几个分段例题，对以上说的这几类分段情况加以了解。例3.计算定积分：（1）；（2），其中解：（1）原式（2）四、利用换元积分法计算定

7、积分不定积分的换元积分法有两种类型，同样定积分的换元积分法也有两种类型：当用第一类换元积分法（凑微分法）求定积分时，若未引进新的积分变量，则积分上、下限不变；当用第二类型换元积分法（变量置换法）求定积分时，由于引进了新的积分变量，因此，积分上、下限要作相应的改变。虽然定积分与不定积分通过N-L公式发生了内在联系，它把定积分的复杂计算归结为求被积函数的原函数，但有时找被积函数的原函数很麻烦，更为严重的是，有些被积函数的原函数不能用初等函数表示出来，因而不能用N-L公式计算借用变量代换所换得的结果却可以求出定积分。对于原函数不能用初等函数来表示的，此时利用定积分

8、性质和换元积分法往往可以使一些积分相互抵消，最终求得