复积分的计算方法研究

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1、分类号0174单位代码10642密级公开学号201102024003重庆文理学院学士学位论文复积分的计算方法研究论文作者：罗智文指导教师：姚益民学科专业：数学与应用数学研究方向：复积分提交论文日期：2015年4月19日论文答辩日期：2015年4月25日学位授予单位：重庆文理学院屮国•重庆2015年4月目录中文摘要III1弓丨言12复变函数积分22.1复积分的定义22.2复积分的基本性质33复积分的计算43.1用复积分定义计算43.2用格林公式计算53.3用参数方程计算53.4用牛顿•莱布尼茨公式计

2、算73.5用柯西积分定理计算83.6用复合闭路定理计算93.7用柯西积分公式计算103.8用高阶导数公式计算113.9用留数定理计算12参考文献15致谢16复积分的计算方法研究数学与应用数学（师范）11级1班罗智文指导教师姚益民摘要：复变函数积分理论不仅是复变函数理论的重要理论之一，也是研究解析函数性质的重要工具.因此,对复积分计算方法的系统研究显得尤为重要•本文对常见的复积分的计算方法进行了比较全面系统的归纳总结，即利用格林公式、柯西积分定理、复合闭路定理、柯西积分公式、柯西留数定理、高阶导数公

3、式等理论讨论了复变函数积分的多种计算方法和技巧.关键字：复积分；柯西积分定理；留数定理；柯西积分公式1.引言复变函数积分理论不仅是复变函数理论的三大重要理论Z—，也是研究和探讨解析函数的必不可少的工具，解析函数的许多的分析性质都是利用复变函数的积分理论加以证明的•所以对复积分的计算方法进行研究是非常有必要的.复积分的计算方法是多种多样的。本文根据复积分的一些基本概念和基本原理,系统总结了复变函数积分的多种计算方法，如：复积分定义法、格林公式法、参数方程法、柯西积分定理、牛顿-莱布尼茨公式法、复合闭

4、路原理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理等•另外，通过具体的实例对每一种方法该如何应用进行了较全面的解释.2.复变函数积分概念和简单性质2.1复积分的定义川设有向曲线C：z=z(/),(q5/50),把67=z(a)作为起点，把b=z(/3)作为终点，且/⑵沿C冇定义在曲线C上从Q到b依次任取n+1个分点：d=z°,Z]z”_],z”=b,把曲线C分成n个小弧段(如上图)•在从％到勺伙=1,2,…必)的每一弧段上任取一点灯作成和式k=其中Azk=Zk-zk_x.若当分点个数无限增加，并冃这些

5、弧段的长度的最大值趋于零的时候,和数片的极限存在且唯一，则称/(Z)沿C(从G到b)可积，且称此极限为/(Z)沿C(从G到b)的积分，并用cf(z)dz表示，即J/(z)dz=lim£/g)g.JC〃T8fC称为积分路径。2.2复变函数积分的基本性质1.若/，(z)在有向曲线C上可积，则/⑵在C上有界.2.若/(z)在有向曲线C上连续，那么/'(Z)在C上可积.3.设函数/•(Q,g(x)沿曲线C连续，则有下列性质：1)[.妙⑵dz=ajj(z)dz,Q是复常数;2)[〔/⑵+&⑵也=j/(z)

6、dz+jg(z)〃z；3)ff(z)dz=f/(z)Jz+f/⑵dz,其中C由曲线G和G衔接而成；JCJC]Jc24)£.f(z)dz=-£f(z)dz・4.若沿曲线C函数.f(z)连续，且有正数M使得

7、/(z)

8、

9、jf(z)dz

10、-b,k=imaxjAz^l—>0即Jdz=a-b.例2命C是表示连接点G与b的任意一条曲线，求证［zJz=1(6Z2-/72)证因为/(z)=z,所以选=Z—则有工严工Zr/zr-z—J,且乂可以命彳=7，则乂有工2=Yzg-Z-J,k=l由f(z)=z的连续性，可知积分［勿Z存在，且与为和工2的极限是相同的，也等于坎+/)的极限•而=扭a；-z；_i)=*(/_夕)/Zk=l/所以

11、zdz=*(/-b2).3.2用格林公式计算定理I./若函数/⑵斗（兀,y）+讽兀，刃沿曲线C连续，则/⑵沿C可

12、积,J/(z)dz=Judx-vdy+zjvdx+udyH.（1.1）这个肚理说明了复积分的计算可以化成是其实、虚部2个二元的实函数曲线积分的计算•而如下格林公式又可以把封闭曲线上的曲线积分转换为二重积分来计算.格林公式设某闭合区间D是由光滑曲线C围成的，函数P（兀,刃与函数e（x,y）在I）上有一阶连续偏导数，那么有H(-)dxdy-Pdx+QdyoxoyJc其中曲线C是D的正方向上的边界曲线。例3设C：lz

13、=2,求上zdz・解设z=x^iy.则可以根据泄理1.1有zdz=ix