复变函数积分的几种计算方法

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1、第２１卷第２期河南机电高等专科学校学报Vol．２１№．２２０１３年３月JournalofHenanMechanicalandElectricalEngineeringCollegeMar．２０１３倡复变函数积分的几种计算方法陈静，贠书杰（河南机电高等专科学校，河南新乡４５３０００）摘要：复变函数积分是复变函数的重要内容。文章对复变函数积分的计算方法进行归纳，以典型例题加以说明。主要包括积分曲线的参数方程法、牛顿－莱布尼兹公式、柯西积分定理及公式、高阶导数公式、留数定理等计算方法。关键词：复变函数；复积分；计算方法中图分类号：O１７４．５５　　　　　文献标识码：A文章编号：１００８－２０９

2、３（２０１３）０２－００２１－０３１　引言∮cxdx＋ydy＝０　∮cxdy－ydx＝２A故得证。复变函数积分理论是复变函数的核心内容，和２）对于在给定曲线C上函数f（z）的积分I＝实积分一样可以解决很多理论及实际问题，而且是∫f（z）dz而言，如果已知了曲线C的参数方程为zc［１］［２］研究解析函数的一个重要工具，研究复级数理论的重要基础。复变函数积分有丰富的理论知识＝z（t），a≤t≤b，则I＝∫cf（z）dz＝和繁多的计算方法，了解复变函数积分并能灵活运b用复积分计算方法进行复积分计算是很重要的。∫af（z（t））′（t）dt。即复积分的计算可以归结为定本文把复变函数积分的方法进行

3、归纳、分类，并以积分的计算。典型例题加以说明，以便更系统地理解和掌握复积分的计算。例2计算积分∫c

4、z

5、dz，C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。２　利用积分曲线的方程计算复积分iθπ３πiθ解：令z＝e，≤θ≤则有dz＝iedθ，f（z）＝　　１）若z＝x＋iy，f（z）＝u（x，y）＋iv（x，y），复２２iθ积分也可以写成：｜z｜＝｜e｜＝１３π２３πI＝∫f（z）dz＝udx－vdy＋ivdx＋udy，iθiθ２πc∫c∫c故∫

6、z

7、dz＝πiedθ＝e２＝－２ic∫２即计算复积分本质上可以归结为两个第二类曲线当被积函数f（z）在简单光滑曲线C上连续积分的计算。进一步

8、，一些特殊的第二类曲线积分时，欲计算积分时可用参数方程法。此方法使用时［３］可以利用格林公式转化为二重积分来计算。更多用于C为非封闭曲线、f（z）在已给区域不解例1设C为可求长的简单闭曲线，A是C析的情形。所围区域面积，求证∮珔zdz＝２iAc３　利用牛顿—莱布尼茨（Newton‐leibniz）证明：设z＝x＋iy，则∮珔zdz＝xdx＋ydy＋［４］c∮c公式求复积分∮icxdy－ydx，由格林公式牛顿—莱布尼茨（Newton‐leibniz）公式。若f（z）在单连通区域D内处处解析，z０，z１倡收稿日期：２０１２‐１２‐０１作者简介：陈静（１９８１－），女，河南南阳人，硕士，主要从

9、事应用数学研究。１２河南机电高等专科学校学报　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２０１３年２期为D内两点，G（z）为f（z）的一个原函数，则＝４πiz１∫zf（z）dz＝G（z１）－G（z０）５　利用重要结论求复积分０即在D内f（z）的积分与路径无关。１２πi，n＝１２　　１）利用结论①∮C（z－zndz＝，例3计算积分I＝∫（e＋２z）dz，其中C为（x－０）０，n≠１C２２１）＋y＝１的上半圆周，逆时针方向。n为任意整数，C为以z０为圆心的正向圆周；②∮C２解：因为e和２z在复平面上处处解析，则I＝１２πi，n＝１００ndz＝，n正整数，C为圆周

10、z

11、＝

12、２２２２z－１０，n≥２∫（e＋２z）dz＝（e＋z）＝－e－３２２［５］２的正向。用牛顿—莱布尼茨公式求复积分时要注意：２（１）D是单连通的；（２）积分值与具体的路径无关，例6计算积分I＝（z－１）＋２dz．∮

13、z

14、＝２（z－１）３仅与起点、终点有关；（３）原函数是初等函数。２（z－１）２解：I＝∮

15、z

16、＝２（z－１）３dz＋∮

17、z

18、＝２（z－１）３dz＝４　利用柯西（Cauchy）积分定理及其推论求复积分１１∮

19、z

20、＝２z－１dz＋２∮

21、z

22、＝２（z－１）３dz＝２πi　　１）柯西（Cauchy）积分定理说明：①中当C为包围z０的任一正向简单闭设f（z）在平面上的单连通区域D内解析，

23、C曲线，结论仍成立。②中C为包围各奇点（均为一阶极点）在内的任一正向简单闭曲线，结论仍成立。为D内任一条围线，则∮Cf（z）dz＝０１６　利用柯西积分公式及高阶导数公式求复例4计算积分∮

24、z

25、＝１z２＋４z＋４dz积分１解：因为z２＋４z＋４在｜z｜＝１所围区域上解析，则　　１）柯西（Cauchy）积分公式１设f（z）在简单（或复合）闭曲线C上及所围区∮

26、z

27、＝１z２＋４z＋４dz＝０域D内解析，则对任意z０∈D，有　　２）复合闭路