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1、第21卷第2期河南机电高等专科学校学报Vol.21№.22013年3月JournalofHenanMechanicalandElectricalEngineeringCollegeMar.2013倡复变函数积分的几种计算方法陈静,贠书杰(河南机电高等专科学校,河南新乡453000)摘要:复变函数积分是复变函数的重要内容。文章对复变函数积分的计算方法进行归纳,以典型例题加以说明。主要包括积分曲线的参数方程法、牛顿-莱布尼兹公式、柯西积分定理及公式、高阶导数公式、留数定理等计算方法。关键词:复变函数;复积分;计算方法中图分类号:O174.55 文献标识码:A文章编号:1008-209
2、3(2013)02-0021-031 引言∮cxdx+ydy=0 ∮cxdy-ydx=2A故得证。复变函数积分理论是复变函数的核心内容,和2)对于在给定曲线C上函数f(z)的积分I=实积分一样可以解决很多理论及实际问题,而且是∫f(z)dz而言,如果已知了曲线C的参数方程为zc[1][2]研究解析函数的一个重要工具,研究复级数理论的重要基础。复变函数积分有丰富的理论知识=z(t),a≤t≤b,则I=∫cf(z)dz=和繁多的计算方法,了解复变函数积分并能灵活运b用复积分计算方法进行复积分计算是很重要的。∫af(z(t))′(t)dt。即复积分的计算可以归结为定本文把复变函数积分的方法进行
3、归纳、分类,并以积分的计算。典型例题加以说明,以便更系统地理解和掌握复积分的计算。例2计算积分∫c
4、z
5、dz,C:左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。2 利用积分曲线的方程计算复积分iθπ3πiθ解:令z=e,≤θ≤则有dz=iedθ,f(z)= 1)若z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y),复22iθ积分也可以写成:|z|=|e|=13π23πI=∫f(z)dz=udx-vdy+ivdx+udy,iθiθ2πc∫c∫c故∫
6、z
7、dz=πiedθ=e2=-2ic∫2即计算复积分本质上可以归结为两个第二类曲线当被积函数f(z)在简单光滑曲线C上连续积分的计算。进一步
8、,一些特殊的第二类曲线积分时,欲计算积分时可用参数方程法。此方法使用时[3]可以利用格林公式转化为二重积分来计算。更多用于C为非封闭曲线、f(z)在已给区域不解例1设C为可求长的简单闭曲线,A是C析的情形。所围区域面积,求证∮珔zdz=2iAc3 利用牛顿—莱布尼茨(Newton‐leibniz)证明:设z=x+iy,则∮珔zdz=xdx+ydy+[4]c∮c公式求复积分∮icxdy-ydx,由格林公式牛顿—莱布尼茨(Newton‐leibniz)公式。若f(z)在单连通区域D内处处解析,z0,z1倡收稿日期:2012‐12‐01作者简介:陈静(1981-),女,河南南阳人,硕士,主要从
9、事应用数学研究。12河南机电高等专科学校学报 2013年2期为D内两点,G(z)为f(z)的一个原函数,则=4πiz1∫zf(z)dz=G(z1)-G(z0)5 利用重要结论求复积分0即在D内f(z)的积分与路径无关。12πi,n=12 1)利用结论①∮C(z-zndz=,例3计算积分I=∫(e+2z)dz,其中C为(x-0)0,n≠1C221)+y=1的上半圆周,逆时针方向。n为任意整数,C为以z0为圆心的正向圆周;②∮C2解:因为e和2z在复平面上处处解析,则I=12πi,n=100ndz=,n正整数,C为圆周
10、z
11、=
12、2222z-10,n≥2∫(e+2z)dz=(e+z)=-e-322[5]2的正向。用牛顿—莱布尼茨公式求复积分时要注意:2(1)D是单连通的;(2)积分值与具体的路径无关,例6计算积分I=(z-1)+2dz.∮
13、z
14、=2(z-1)3仅与起点、终点有关;(3)原函数是初等函数。2(z-1)2解:I=∮
15、z
16、=2(z-1)3dz+∮
17、z
18、=2(z-1)3dz=4 利用柯西(Cauchy)积分定理及其推论求复积分11∮
19、z
20、=2z-1dz+2∮
21、z
22、=2(z-1)3dz=2πi 1)柯西(Cauchy)积分定理说明:①中当C为包围z0的任一正向简单闭设f(z)在平面上的单连通区域D内解析,
23、C曲线,结论仍成立。②中C为包围各奇点(均为一阶极点)在内的任一正向简单闭曲线,结论仍成立。为D内任一条围线,则∮Cf(z)dz=016 利用柯西积分公式及高阶导数公式求复例4计算积分∮
24、z
25、=1z2+4z+4dz积分1解:因为z2+4z+4在|z|=1所围区域上解析,则 1)柯西(Cauchy)积分公式1设f(z)在简单(或复合)闭曲线C上及所围区∮
26、z
27、=1z2+4z+4dz=0域D内解析,则对任意z0∈D,有 2)复合闭路
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