liapunov函数的构造

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1、Liapunov函数的构造摘要：Liapunov函数是一种判定微分方程零解稳定性的重要方法，所以本文首先介绍了Liapunov函数以及判断微分方程的稳定性定理，然后着重介绍了Liapunov函数的几种构造方法，包括常系数线性系统的巴尔巴欣公式、线性类比法.通过这两种构造方法，我们将初步了解Liapunov函数的构造在判断微分方程零解稳定性中的重要作用.关键词：Liapunov函数；零解；稳定性.引言在常微分方程中，稳定性理论研究是很重要的一部分，即研究当时间趋于无穷时，其解的形态将会怎样变化，他在自然科学、工程

2、力学、环境生态、社会经济等方面有着重要的应用。在本章第一节中介绍了稳定性的相关定义，也介绍了对于可以求得微分方程的解析解时，如何利用定义判断其零解的稳定性。但是在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求得其解析解，这就需要从方程本身来判断零解的稳定性Liapunov直接方法就是求解这一问题的有效途径。本文先引入Liapunov函数，即V函数的定义，以及Liapunov稳定性的定理，然后介绍几种构造Liapunov函数方法。1Liapunov稳定性的定理1.1函数设函数在中原点的某邻域中有定义,在中连续可微

3、，且满足定义1.1若除原点外对所有均有，则称为正定函数（负定函数）；若除原点外对所有均有，则称为半正定函数（半负定函数）；若在中原点的任一邻域内既可以取正，也可以取负，则称为变号函数.例如，是中的正定函数，但在中确实半正定函数，而是中的变号函数.一般函数的符号判断十分困难，通常把在原点展开为Taylor级数其中分C是的次，，齐次函数，根据展开式中的最低次项的系数，通常就可以判断在原点邻域内的符号.因为再原点附近其他项都可以视为第一项的高阶无穷小.1.1Liapunov稳定性定理设维自治微分方程（1.1）的解为，

4、为了研究方程（1.1）零解的稳定性，考察随时间变化时的变化情况，将视为的复合函数，关于求导可得（1.2）式（1.2）称为函数沿着方程（1.1）轨线的全导数.介绍了以及其全导数后，接下来简单介绍下Liapunov稳定性理论的几个定理.定理1.1若有原点的邻域和一个正定（负定）函数，使得其全导数是半负定（半正定），则称系统（1.1）的零解是稳定的；特别地，当是负定（正定）时，系统（1.1）的零解是渐进稳定的.定理1.2设在原点的邻域内有函数，它沿着方程（1.1）的轨线的全导数是正定（负定）的，而本身不是半负定（半正

5、定）的，则方程（1.1）的零解是不稳定的.这两个定理是直接通过构造Liapunov函数，来判断方程的零解是否稳定的，定理在本章第2节已经详细的证明过，这里不再做证明.2Liapunov函数的构造第一节中所讨论的两个定理都是一个函数稳定的充分条件，即存在一个，和它的全导数满足定理1.1时，系统的零解是稳定的.满足定理1.2的条件时，系统的零解是不稳定的.在使用Liapunov函数判定稳定性时应当注意，当找不到满足稳定性定理的条件的函数时，并无法断言此系统的零解是不稳定的,并且构造的Liapunov函数不同时，判断

6、零解是否渐进稳定以及吸引域的大小也会有些差异.再利用Liapunov方法判断系统零解稳定性时，需要明确满足一定条件的Liapunov函数是否存在，即当系统的零解有某种稳定性时，满足这个稳定性定理的是否存在，这就是上述定理1.1和定理1.2的逆命题.是否成立.2.1Liapunov函数的存在性考虑微分方程组（2.1）记，设在连续，关于满足Liapunov条件.令是方程组（2.1）满足的解.定理2.1若方程组2.1的零解是稳定的，则有正定函数，使得其全导数是半负定的.证首先根据方程组（2.1）的零解构造出正定函数，

7、在验证是半负定.取其中表示方程组（2.1）在时刻过的解在时刻的位置坐标.显然有因为方程组（2.1）的零解是稳定的，所以对任意的，有，使得当时，有（2.2）于是当时，对所有的有.否则就有，，以及，使得.由式（2.2）得又因为与式（2.2）矛盾.由此得是正定函数，显然有即是正定函数，另一方面所以有即是半负定的.例1研究下述微分方程组零解的稳定性.满足初值问题.解容易解得满足上述初值问题的解为所以有定理2.1，可以取函数显然即通过这种方法构造的是正定函数.并求得其全导数为：即正定，半负定，所以上述方程组的零解是稳定的

8、.1.1常系数线性系统的巴尔巴欣公式对于常系数线性微分方程组（2.3）这里可以假设该线性自治系统的Liapunov函数为一个二次型，不妨设其为，则他沿系统（2.3）的全导数为显然其全导数依然是一个二次型.这样，可以从的二次型出发，利用进而来确定二次型，再根据和的符号来判断方程组（2.3）零解的稳定性.下面就利用这一思想介绍二阶方程组的巴尔巴欣公式.对于二维微分方程组（2.4）可以给出一