lorenz系统动力学行为的matlab仿真与分析_姚齐国

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1、Lorenz系统动力学行为的MATLAB仿真与分析_姚齐国第25卷第5期文章编号:1000-7709(2007)05-0121-04水　电　能　源　科　学Vol.25No.5Lorenz系统动力学行为的MATLAB仿真与分析姚齐国1,2(1.华中科技大学水电与数字化工程学院,湖北武汉430074;2.武汉工程大学电气信息学院,湖北武汉430073)摘要:以Lorenz系统为例,采用相图和功率谱两种方法,借助MATLAB软件对之进行仿真研究,观察状态变量在时域和频域中的变化来了解系统的非线性特性。通过调整控制参数,观察Lorenz系统动力

2、学行为的演变过程,得知Lorenz系统可通过Pomeau-Manneville途径走向混沌,间歇性与Hopf分岔和倍周期分岔有关。关键词:Lorenz系统;混沌;MATLAB;仿真与分析中图分类号:TP391;O415.5文献标志码:A模与仿真等领域中得到广泛应用。混沌理论研究1　概述混沌是学术界对非线性系统研究领域非常活跃的前沿课题。混沌现象是指确定性系统中出现的一种类似随机过程的行为。一个非线性动力学系统,在系统参数达到一定匹配时便会出现混沌现象。在物质世界中,混沌现象无处不在。一个确定的非线性系统,如果含有貌似噪声的有界行为,且又

3、表现若干特性,便可称为混沌系统,其特性有如下几方面:①振荡信号的功率谱连续分布并可能为带状分布,表明振荡为非周期性,说明了信号貌似噪声的原因;②在相空间,该系统相邻轨道线彼此以指数规律迅速分离,从而导致对初始值的极端敏感性,使系统的行为长期不可预测;③在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分内,轨线具有遍历性和混合性[1,2]。追索混沌的发展历程,可以从Poincare'(庞加莱)开始,见文献[3]。Lorenz等学者先后在天气、对流、斜坡等现象及水轮机、发电机、激光器等真实物理系统中发现Lorenz系统可作为许多现实混沌运动的

4、典型模型,但对Lorenz系统通向混沌的途经研究甚少。MATLAB是集数值运算、符号运算、数据可视化、数据图文字统一处理、系统动态仿真等功能于一体的数学软件具有很高的编程效率,在线性代数、矩阵分析、数值计算及优化、系统动力学、建收稿日期:2007-07-16,修回日期:2007-08-26的是非线性问题,难以用解析式表达,只能采用数值解法,而MATLAB在这方面便可展示其强大的潜能。本文通过采用相图和功率谱两种方法,借助MATLAB软件对Lorenz系统通向混沌的途径进行仿真研究,观察状态变量在时域和频域中的变化来了解系统的非线性特性,

5、并通过调整其控制参数观察Lorenz系统动力学行为的演变过程得出有意义的结论。[4]2　仿真方法Lorenz系统的动力学行为是由控制参数a、b、c决定的。为观察系统的动力学特性,可采用相图、功率谱、关联维数和Lyapunov指数等方法有选择地研究控制参数沿参数空间中轨线变化时Lorenz系统的演化过程,相图和功率谱直观。相空间就是由研究的物理量本身作为坐标分量所构成的广义空间,系统的任意状态相当于相空间中的一个点,系统状态随时间变化的过程对应于点在相空间中的变化,所有点的集合便构成了相图。非线性系统随时间的演变将趋向于维数比原来相空间低

6、的极限集合——吸引子。通常的简单吸引子有不动点、极限环和环面,随系统参数的改变简单吸引子可发展为奇怪吸引子。像这种当控制参数变化到某个临界值时使系统的动力学作者简介:姚齐国(1966-),男,副教授、博士,研究方向为系统建模与仿真、优化运算与运行、电路理论分析与应用、微机控制技术,E-mail:yaoqiguo@163.com水　电　能　源　科　学　2007年性态发生定性变化的现象称为分岔[5]。1981年,Eckmann曾对各种可能的分岔现象进行了研究,归纳出走向混沌的三条途径:Feigenbaum途径(即通过岔状分岔产生混沌)、Ru

7、elle-Takens-Newhouse途径(即通过Hopf分岔产生混沌)、Pomeau-Manneville途径(即通过阵发产生混沌)。功率谱分析是观察分岔和混沌的重要方法。由于混沌系统是非周期的,所以功率谱是连续的,同时,混沌运动极为复杂,在倍周期分岔中,每分岔一次,功率谱中就出现一批对应新分频及倍频的峰,因此混沌的谱不是平谱,即谱中会出现噪声背景和宽峰。置初始条件为(-11.2,-8.4,33.4),仿真时间为0～40s。选择参数空间中的两条轨线分别为a=22、、c=[38.6,2000]和a=12、b=4、c=[30,b=521

8、00],经观察,发现第一条轨线的演化:当1865.99<c≤2000时,系统收敛于相空间中的一个不动点;当519.99<c≤1865.99时,不动点失稳,新的稳定状态为围绕着原来不动点的极限环;