用线段对确定的点求作函数图形的方法

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1、用线段对确定的点求作函数图形的方法作者按：证明微分中值定理时，同济大学[4]在无力展示对应规则明确的、ф(x)图形的情况下，荒唐地作X轴的垂线，把垂线与X轴、曲线的弦L(x)及曲线f(x)的交点标上x、N、M后即自作主张地定义“有向线段NM的值是x的函数，把它表示为ф(x)”（图1-1：因X轴的垂线为x=xi（常数），故图中的x、N、M都被笔者加上了脚链i）。“有序线段对”与“有序数对”一样，也具有确定平面上的点的功能！由此可以判定：ф(x)是一条略经提示中学生即可以求作的、有别于“有向线段NM的值”的、符合曲线与方程定义的、既能描述变量间对应规则又能展示其几何

2、风貌特征的、栩栩如生的罗尔曲线（图1-3）。同济大学的荒诞结论，足以说明该数学方法是数学家们尚未掌握的一种数学方法。摘要：对函数图形的求作规则进行了研究，提出了由有向线段对确定的点求作相关函数图形的方法。关键词：数对，线段对，点，点集，图形。1.引言在研究函数性质的时候，人们通常需要求作函数的图形。函数的图形是自变量在其定义域内的每一个值与其对应的函数值所确定的点的集合。因为这些点都是由数对确定的，所以，只要能够找出一些确定函数图形上点的数对，就可以用“描点法”求作函数的图形了。2.一种相关函数图形的求作方法在平面坐标系内没有坐标数字的情况下，碰到由已知函数的图

3、形求作相关函数的图形时，就会让人遇到似乎无从着手的窘迫局面了。如下函数图形的求作问题就是一个实例。例.已知闭区间[a，b]上曲线f(x)和直线L(x)都通过点A、B。求作函数ф(x)=f(x)-L(x)在[a，b]上的图形（图1-1）。分析：这是一个由已知函数图形求作相关函数的问题。这里的平面坐标系内没有坐标数字。所以，确定欲求函数ф(x)图形上点的数对已经不能够用数字表达了。但，函数ф(x)的对应规则和定义域是已知的。所以，原点到定义域内每一个自变量位置之间的“有向距离”都是确定欲求函数ф(x))图形上的点所需“数对”中的一个“数字”。因此，只要依据函数ф(x

4、)的对应规则，找到确定欲求函数ф(x)图形上同一点所需“数对”中的另一个对应的“数字”，问题就能够解决了。作图：①.确定欲求函数ф(x)图形上点的“数对”在X轴上确定x等于x1、x2、xi、ξ1、ξ2各点，过这些点作X轴的垂线，垂线与直线L(x)的相交点分别是：N1、N2、Ni、Nξ1、Nξ2；垂线与曲线函数f(x)的交点分别是：M1、M2、Mi、Mξ1、Mξ2(图1-2)。因为ф(xi)=f(xi)-L(xi)，所以确定欲求函数ф(x)图形上点的一些“数对”的工作就能够进行了。它们分别是：（+Oa，0）、（+Ox1，+N1M1）、（+Ox2，+N2M2）、（+

5、Oxi，+NiMi）、（+Oξ1，+Nξ1Mξ1）、（+Oξ2，-Nξ2Mξ2）、（+Ob，0）2。尽管这些对应的线段对不是数字对，但它们都是具有确定长度的有向线段对。这就足以能够让我们完成求作函数ф(x)的图形了！如果需要列表的话，表中的有序数对就是一对对对应的有向线段对（表从略）。②.求作函数ф(x)的图形显然，X轴上的点a、b都是ф(x)图形上的点。以X轴上的点x1为圆心，线段N1M1长度为半径，在过x1所作的X轴的垂线向上（因为线段N1M1与Y轴同向，为正号）画弧与垂线相交的交点，也是ф(x)图形上的点；以X轴上的点ξ2为圆心，线段Nξ2Mξ2长度为半径

6、，在过ξ2所作的X轴的垂线向下（因为线段Nξ2Mξ2与Y轴反向，为负号）画弧与垂线向下的延长线相交的交点，也是ф(x)图形上的点。以同样的方法求出ф(x)图形的其余的点。把这些点有序地连接成一条圆滑的曲线，一条符合曲线与方程定义的、ф(x)在[a，b]上的几何图形就会呈现在人们的面前了（图1-3）。③检验：从略。3.几点说明3.1图形中T及T处切线的意义一般读者，不必深究图中字母T及其处的切线的用途。这里的ф(x)图形，就是证明微分中值定理时辅助函数ф(x)的图形。图中，若x=ξi时,ф'(ξi)=0，则：①.ф(x)图形上的点Ti（ξi，ф(ξi)）处的切线与

7、X轴平行；②.曲线f(x)上的点Mξi(ξi，f(ξi)）处的切线与曲线f(x)在闭区间两端点的连线L(x)平行。⑶.由ф(a)=ф(b)，可以判定，辅助函数ф(x)的几何意义是一条满足罗尔定理的罗尔曲线。3.2L(x)及其与曲线f(x)的关系L(x)不一定必须为一条直线，是一条曲线也可以！L(x)不一定必须与曲线f(x)都通过点A、B，通过一点，或一点也不通过也可以！只不过最终求得的ф(x)图形的形状、位置等不同而已。函数ф(x)=f(x)+L(x)图形的求作方法雷同，本文不予追述。3.3关于函数值的运算当函数值f(xi)小于L(xi)时，ф(xi)=f(xi

8、)-L(xi)为负值。这