毕业论文-第二类曲线积分的计算

《毕业论文-第二类曲线积分的计算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、安庆师范学院数学与计算科学院2012届毕业论文第二类曲线积分的计算作者：钟家伟指导老师：张玮玮摘要：本文结合第二类曲线积分的背景和平面和空间图形第二类曲线积分的定义介绍第二类曲线积分的，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。关键词：第二类曲线积分第一类曲线积分二重积分参数方程对称性原理斯托克斯公式1引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。1.1第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。1.

2、2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。2第二类曲线积分的定义2.1第二类曲线积分的物理学背景力场F(x,y)P(x,y),Q(x,y)沿平面曲线L从点A到点B所作的功一质点受变力Fx,y的作用沿平面曲线L运动,当质点从L之一端点A移动到另一端B时,求力Fx,y所做功W。大家知道,如果质点受常力F的作用从A沿直线运动到B,那末这个常力F所做功为W=FAB.现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?为此,我们对有向曲线L作分割T{A,

3、A,.....,A,A}，01n1n即在AB内插入n1个分点M,M,.....,M,12n1与A=M,BM一起把曲线分0n第1页共15页安庆师范学院数学与计算科学院2012届毕业论文成n个有向小曲线段MM(i1,2,,n),记小曲线段MM的弧长为S.则分割i1ii1iiT{A,A,.....,A,A}的细度为Tmax{S}.设力Fx,y在x轴和y轴方向上的01n1ni1in投影分别为P(x,y)与Q(x,y),那么Fx,y=P(x,y),Q(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j由于M(x,y),M(x,y),则有向小曲线段

4、MM(i1,2,,n)在x轴和y轴方i1i1i1iiii1i向上的投影分别为xxx与yyy.记L=(x,y)从而力Fx,yiii1iii1Mi1Miii在小曲线段MM上所作的功WF(,)L=P,x+Q,yi1iiiMi1Miiiiiii其中(,)为小曲线段MM上任一点,于是力Fx,y沿L所作的功可近似等于iji1innnWi=WiP(Si,i)xiQ(si,i)yi当T0时,右端积分和式的极限就是所i1i1i1求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲

5、线积分。2.2第二型曲线积分的定义设P(x,y),Q(x,y)为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线L上的函数,对L任一ABAB分割T,它把L分成n个小弧段MM(i1,2,,n)；其中A=M,BM.记各个小ABi1i0n弧段MM弧长为s,分割T的细度为Tmax{S},又设T的分点的坐标为i1iii1inM(x,y),并记xxx,yyy,(i1,2,,n).在每个小弧段iiiiii1iii1MM上任取一点,,若极限。i1iiinnlimP(i,i)xilimQ(i,i)yiT0T0i1i1存在且与分割T与点

6、,的取法无关,则称此极限为函数P(x,y),Q(x,y)在有向线段iiL上的第二类曲线积分,记为ABP(x,y)dxQ(x,y)dy或P(x,y)dxQ(x,y)dyLAB也可记作第2页共15页安庆师范学院数学与计算科学院2012届毕业论文P(x,y)dxQ(x,y)dy或P(x,y)dxQ(x,y)dyLLABAB注：(1)若记Fx,y=P(x,y),Q(x,y),dsdx,dy则上述记号可写成向量形式Fds。L(2)倘若L为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)为定义在L

7、上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L的第二类曲线积分,并记为P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzL按照这一定义,有力场F(x,y)P(x,y),Q(x,y)沿平面曲线L从点A到点B所作的功为WPdxQdy.第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.对二型曲线积分AB有,定积分是第二型曲线积分中当曲线为x轴上的线段时的特例.可类似地考ABBA虑空间力场F(x,y,z)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)沿空间曲线L所作的功.为A