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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二类曲线积分的计算定义设P(x,y),Q(x,y)为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线LAB上的函数,对LAB任一分割T,它把LAB分成n个小弧段Mi1Mi(i1,2,,n)；其中A=M0,BMn.记各个小弧段Mi1Mi弧长为si,分割T的细度为Tmax{Si},又1in设T的分点的坐标为Mi(xi,yi),并记xixixi1,yiyiyi1,(i1,2,,n).在每个小弧段Mi1Mi上任取一点i,i,若极限nnlimP(i,i)xilimQ(i,i)
2、yiT0i1T0i1存在且与分割T与点i,i的取法无关,则称此极限为函数P(x,y),Q(x,y)在有向线段LAB上的第二类曲线积分,记为P(x,y)dxQ(x,y)dy或P(x,y)dxQ(x,y)dyLAB也可记作P(x,y)dxQ(x,y)dy或P(x,y)dxQ(x,y)dyLLABAB注：(1)若记Fx,y=P(x,y),Q(x,y),dsdx,dy则上述记号可写成向量形式:Fds.L(2)倘若L为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)为定义在L上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向
3、曲线L的第二类曲线积分,并记为P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzL按照这一定义,有力场F(x,y)P(x,y),Q(x,y)沿平面曲线L从点A到点B所作的功为WABPdxQdy.第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯对二类曲线积分有,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x轴上的ABBA线段时的特例.可类似地考虑空间力场F(x,y,z)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)沿空间曲线LAB所作的功.为空间曲线LAB
4、上的第二类曲线积分P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz.AB与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是nlf(x,y)dslim(i,i)2si0i1第二类曲线积分就是nP(x,y)dxQ(x,y)dylimP(i,i)xiQ(i,i)yil0i1（1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的，是一小段弧的弧长，总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的坐标的增量，，与是可正可负的。当积分的路径反向时，不变，而与反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积
5、分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。设曲线的参数方程为则第一类曲线积分的计算公式为2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯dsdx2dy222x'(t)dty'(t)dtx'2(t)dt'2(t)dtdt这里要注意，即对t的定积分中，下限比上限小时才有，也就有，这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿曲线上的点由A变到B，即t的下限对应曲线积分的起点A，他的上限对应曲线积分的起点
6、A，t的上限对应终点B。历年真题1、设曲线，具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点M和第四象限内的点N，为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的选项是(A)(B)(C)(D)(2007，数一，4分)【解析】设点，的坐标分别为，，则有题设可知答案为B。3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2、计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段。(2008，数一，9分)【解析】3、设是柱面与平面的交线，从轴正方向往轴负方向看去为逆时针方向，则曲线积分(2011，数一，4分)【解析】采用斯托克斯公式直接
7、计算4、已知是第一象限中从点沿圆周到点,再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分(2012，数一，10分)4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【解析】5、已知的方程，起点为，终点为，计算曲线积分(2015，数一，10分)【解析】曲线L的参数方程为：5
