平面向量的概念及其运算(学生)

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1、www.xinghuo100.com第1讲　平面向量的概念及其线性运算[最新考纲]1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识梳理1．向量的有关概念名称定义备注平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为

2、02.向量的线性运算向量运算定　义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)续表知人善教培养品质引发成长动力www.xinghuo100.com减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向

9、量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.辨析感悟1．对共线向量的理解(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝－()(4)设a，b为向量，则“

10、a·b

11、＝

12、a

13、·

14、b

15、”是“a∥b”的充分必要条件．()2．对向量线性运算的应用(5)＋＋＝.()(6)(教材习题改编)在△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)．()[感悟·提升]1．一个区别　两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向

16、量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．2．两个防范　一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).知人善教培养品质引发成长动力www.xinghuo100.com考点一　平面向量的有关概念【例1】给出下列命题：①若

17、a

18、＝

19、b

20、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

21、a

22、＝

23、b

24、且a∥b.其中真命题的序号是________．答案　②③规律方法对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向

25、，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．【训练1】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝

26、a

27、a0；②若a与a0平行，则a＝

28、a

29、a0；③若a与a0平行且

30、a

31、＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)．A．0B．1C．2D．3考点二　平面向量的线性运算例2】如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，B＝，＝.试用a，b表示，及.知人善教培养品质引发

32、成长动力www.xinghuo100.com规律方法(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．【训练2】(1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.(2)已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，那么一定有(　　)．A.＝2B.＝2C.＝2D.＝2考点三　向量共线定理及其应

33、用【例3】设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．知人善教培养品质引发成长动力www.xinghuo100.com规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.【训练3】已知向量a，b不共线，且c