【高中数学备课参考】计数原理排列组合及二项式定理(二)：排列组合题型总结

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1、排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。一．直接法1．特殊元素优先法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：=2402．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千位

2、时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有=192所以总共有192+60=252二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252例2有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432（个）三．插空法当需排元素中有不能

3、相邻的元素时，宜用插空法。例3在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有×=90中插入方法。四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例4．有4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：×=576练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（=36）

4、练习2．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（×）.（注意连续参观2天，即需把30天中的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列）五．隔板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采隔板用法例5某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7

5、块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有=330种练习1.(a+b+c+d)15有多少项？解析1：当项中只有一个字母时，有种（即a.b.c.d而指数只有15故。当项中有2个字母时，有,而指数和为15，即将15分配给2个字母时，由隔板法一分为2，得即;当项中有3个字母时，字母组合数为，指数15分三组给字母即可，从而得不同组合数为：当项中4个字母都在时四者都相加即可．=816。解析2：用15个相同的小球代表幂指数15,用4个标有、、…、的4个不同的盒子表示数、、…、，将15个相同的小球放入4个不同的盒子中，把标有（i=1,2,…,4）每个

6、盒子得到的小球数（i=1，2，…，4;），记作的次方。这样，将15个相同的小球放入4个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。由隔板法知，这样的放法共有种，故的展开式中共有项。==816（种）。所以，展开式中共有816项。练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少于编号数，问有多少种不同的方法？（=120）练习3．不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的正整数解有（）；不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的非负整数解有（）；六．平均分堆问题例6．把6本不同

7、的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由于顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？（15种）2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则不同的分派方法的种数有（90）。七．合并单元格解决染色问题例7（全国卷（文、理））如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数

8、字作答）。24315分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．下面分情况讨论:(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素①③⑤的全排列