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1、浅谈特征值和特征向量的解法与应用摘要特征值与特征向量是高等代数研究的中心问题之一，而矩阵特征值与特征向量的解法及其应用更是重中之重，因此，在掌握特征值与特征向量概念、了解其基本性质的基础上，熟练掌握其在各种具体问题中的解法，并自然地将此知识应用于其他领域显得非常重要。关键词：特征值；特征向量；解法；应用一位数学家曾说过:“矩阵不仅节约思想,而且还节约黑板”。矩阵作为一种数据结构,一种运算工具,对一些十分复杂的问题,处理起来十分容易。在高职教材中,对矩阵的介绍较为肤浅,学生很难正确把握矩阵的实质,更谈不上用矩阵来解决实际问题,在教学中,教师应结合专业,穿插矩阵的应用,让学生看到矩阵
2、的神奇;用矩阵能达到化繁为简,化难为易的功效。随着现代科学技术的发展，矩阵理论得到了迅速发展，现已成为目前最有实用价值的数学理论之一。它不仅是数学的一个重要分支，而且已成为现代各科学技术领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力工具。特别是计算机的广泛应用，大量的算法都涉及到矩阵运算。当阶数较高时，矩阵乘法将变得非常繁杂，这就需要找出简单的方法。显然，如果能将一般矩阵和某个对角矩阵联系起来，就有希望简化计算。为此，下面我们先论述线性变换的特征值和特征向量的解法。它们对于线性变换的研究起十分重要的作用。在多数《高等代数》教材中，特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A
3、的属性，描述为线性空间中线性变换A的特征值与特征向量;而在大部分《线性代数》教材中，特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成，定义为n阶矩阵A的特征值与特征向量。从理论上来讲，只要求出线性变换A的特征值与特征向量，就可知矩阵A13的特征值与特征向量，反之亦然，因此求矩阵的特征值与特征向量就变得尤为重要.本文讲介绍解特征值与特征向量的几种方法。一，求解矩阵A的特征根及特征向量的传统方法是。(1)取定数域K上的线性空间的一个基，写出线性变换T在改基下的矩阵A；(2)求出A的特征多项式在数域K上的全部根，它们就是T的全部特征值；把求得的特征值逐个带入方程组，解出矩阵A的属
4、于每个特征值的全部线性无关额特征向量；以A的属于每个特征值的特征向量为中取定基下的坐标，即得T的相应特征向量。例1设线性变换T在的基下的矩阵是A=求T的特征值和特征向量。解容易算出A的特征多项式是=det==因为T的特征值是=5.特征方程=0的一个基础解系为,T的属于的两个线性无关的特征向量为,的属于的全体特征向量为不同时为零)特征方程=0的一个基础解系为,则T的属于的全体特征向量为（K不等于零）对于线性空间的线性变换的任一特征值，T的属于的全部特征向量，再添上零向量所构成的集合13是的一个线性子空间。事实上，设，y,则有T=，Ty=y于是T=T+Ty=T===均属于.这就说明与
5、均属于例2求矩阵A=的特征根和相应的特征向量。解：矩阵A的特征多项式==.所以特征根是1和5.当矩阵的属于特征根1的特征向量是齐次线性方程组-4=0，-2+2=0，2=0。的非零解，即（0,a,a）,aC,a0,矩阵A的属于5的特征向量是齐次线性方程组0=02+2=02+2=0的非零解，即（a,b,-b）,a,bC且不全为零。二利用特殊的特征方程求特征值与特征向量。利用矩阵的特征方程来求特征值.设矩阵,根据特征方程，满足的，则是的特征值。这种方法多应用于数值矩阵。13例设阶方阵有特征值，求,的特征值；若A可逆，求,,的特征值。解用特征方程求。由题设可知︱︱=0(3)（3）式两边同
6、乘︱︱,得︱︱︱︱=︱︱=︱︱=0，故知有特征值。同理，（3）式两边同乘︱A+︱,得︱A+︱︱｜=︱｜=｜｜=｜｜=0,故知的特征值为。当A可逆时，（3）式两边同乘｜｜，得｜｜｜｜=｜｜=0.故知的特征值为。（3）式两边同乘｜｜，得｜｜｜｜=｜｜=｜｜=0故知的特征值为。同理由｜｜=0,可得｜｜=0，13故有特征值1-。三，利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法。定理1 设A是n阶方阵，λ为待求特征值.若对矩阵(A-λE)T施行一系列行初等变换，可得到上三角矩阵B(λ)，令B(λ)的主对角线上元素乘积为零，求得λ值即为矩阵A的特征值。考察的第一列元素:若≠0,通过行初等变
7、换化为;若=0,则本身就具有这样形式,再对进行相应的行初等变换,化为,依次对进行如此运算,直至)化为=B.由以上运算可知，与等价，则与B有相同的等因子，所以可证定理1成立。定理2：若对矩阵实行一系列行初等变换，化为行阶梯形，同时对单位阵也施行相应的行初等变换，使,其中为满秩矩阵，则中的n-r个n维向量的转置就为矩阵A的属于特征值Y的特征向量。定理3：设是阶方阵，为待求特征值。若对矩阵施行一系列初等变换，可得到上三角矩阵令的主对角线上元素乘积为零，求得值即为矩阵A的特征值。定理4：
