流体有限元-椭圆形方程

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1、第二章有限元的基础理论§1基本概念这一节介绍泛函分析的一些基本知识。1）线性空间定义1（线性空间）：设是一个非空的集合，对集合中的元素定义了两种运算加法：，在中都存在一个元素与它们对应，称为它们的和，记作；数乘：和任意的实数，在中都存在一个元素与它们对应，称为这两者的数乘，记作。加法满足下列规则：（a）交换律：（b）结合律：（c）在中存在惟一的一个元素，使得，都有。这个元素称为中的零元素（d），在中存在惟一一个元素，记作，使得。这个元素称为的负元素，并可以定义减法数乘满足下列规则：（a）对加法的分配律：（b）对数乘的

2、分配律：（c）结合律：（d），都有此时，称集合是一个线性空间。例：维（实）向量空间（注）实数集作为一维向量空间，也是线性空间。全体实函数的集合全体连续函数的集合，或记作全体有直到阶连续（偏）导数函数的集合全体有任意阶连续（偏）导数函数的集合全体（实系数）多项式的集合次数不超过次的全体（实系数）多项式的集合（注）表示函数的定义域。线性空间是向量空间的推广。因此，向量空间的许多概念都可以推广过来，例如：元素的线性组合：设一组元素，一组实数，则称为这组元素的线性组合。线性相关：设，若存在一组不全为零的实数，使得线性无关：设

3、，若只有当全为零时才有基：若在中存在一组元素，使得中任何一个元素都可以表示成它们的线性组合，则称这组元素是空间的一组基。空间的维数：设是空间的一组基，若这组元素只有有限多个，即，则空间称为有限维空间，这组元素的个数称作空间的维数，记作；若这组元素有无穷多个，则空间称为无限维空间，记作。（注）空间可以有多组基，但空间的维数与基的选择无关。子空间（线性子空间）由一组元素张成的子空间：设，则空间的子集合是这组元素的线性组合构成空间的子空间，称作由元素张成的子空间。例：维（实）向量空间是有限维空间，次数不超过次的全体（实系数

4、）多项式的集合是有限维空间，函数集合、（）都是无限维空间多项式集合是无限维空间定义2（乘积空间）：设和是两个线性空间，定义集合，并对其中的元素规定加法和数乘运算加法：数乘：则构成一个线性空间，称作和的乘积空间，记作。（注）可以定义多个空间的乘积空间。一个空间自己与自己的乘积空间可用幂来表示，例如所以，维（实）向量空间又可以解释为实数空间的乘积空间。2）距离空间定义3（距离空间）：设是一个非空的集合，对集合中的元素定义了距离：，都存在一个实数与它们对应，称为它们的距离，记作，并满足：（a）对称性：（b）正定性：，当且仅

5、当时（c）三角不等式：则称集合是一个距离空间。例：实数集，定义距离向量空间，定义距离，（注）在同一集合上定义不同的距离，则构成不同的距离空间。连续函数集合，定义距离引入距离，可为开展各种分析定义一个最基本的概念——极限。定义4（极限）：设是距离空间中的一个元素序列，若存在元素，使得，则称这个元素序列收敛，而元素称为这个序列的极限。性质1：收敛序列的极限是惟一的。定义5（Cauchy序列）：设是距离空间中的一个元素序列，若，都存在自然数，使得，都有，则称这个元素序列是一个Cauchy序列。性质2：收敛序列一定是Cauc

6、hy序列。对于实数集，性质2反过来也是成立的，即：Cauchy序列一定是收敛序列。但是在一般的距离空间上就不一定了。例如有理数集，仍定义距离，序列都是Cauchy序列。作为实数序列，它们也都是收敛序列，极限分别是和。但是这两个极限值都不是有理数，所以作为有理数序列，它们都没有极限。区间上一元连续函数的集合，定义距离考虑连续函数序列，其中可以验证，这个函数序列是一个Cauchy序列。再考虑不连续的函数经过计算，知所以但是由于函数，所以上述函数序列没有极限。定义6（完备性）：如果距离空间中的任何Cauchy序列都是熟练的

7、，则称这个空间是完备的。在完备的距离空间中，Cauchy序列与收敛序列是等价的。而上面的两个例子都是不完备的距离空间。不完备的原因不是因为Cauchy序列没有极限，而是极限跑到空间以外。也就是说，只是在空间内没有极限。如果对不完备的距离空间加以扩充，将所有Cauchy序列的极限都包括进来（如果这个极限跑到空间以外的话），可以得到完备的距离空间。这个过程称为空间的完备化。例如，有理数集的完备化空间就是实数集。连续函数空间的完备化比较复杂，需要将通常意义下的积分扩展成广义的积分——Lebesgue积分（过程略），仍用积分

8、号来表示。通常意义下的积分所具有的许多性质，Lebesgue积分也都具有，例如线性：可加性：绝对值不等式：对于连续函数来说，其Lebesgue积分还原成通常意义下的积分。如果一个函数（不一定是连续函数）的Lebesgue积分存在并且是有限值，则称这个函数是Lebesgue可积的。我们约定，下面出现的积分，都是指Lebesgue积分。定义6（-空