线性代数各章学习要点3

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1、第3章n维向量和线性方程组向量是线性代数的重点内容之一，也是难点，对逻辑推理有较高的要求。本章从研究向量的线性关系（线性组合、线性相关与线性无关）出发，然后讨论向量组含最多的线性无关向量的个数，即引出向量组的秩和最大无关组，最后，应用向量空间的理论研究线性方程组的解的结构。无论是证明、判断、还是计算，关键在于深刻理解本章的基本概念，搞清楚其相互关系，并会灵活应用。3．1n维向量及其运算定义（n维向量）由数域F中的n个数组成的有序数组（）或称为数域F上的一个n维向量，前者称为行向量，后者称为列向量，其中称为向量的分量（或坐标）。分量是实（复）数的向量称为实（复）向量

2、。如果没有特殊的声明，以下所讨论指数域F上的向量。行向量可以看成行矩阵，列向量看成列矩阵，向量的运算规定按矩阵的运算法则进行。以下讨论的向量，再没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。设有向量（），则向量相等的定义为=（i=1,2,…,n）向量的加法定义为=数乘向量的定义为（）向量的加法以及数乘运算统称为向量的线性运算，它满足下列8条运算规律（其中为n维向量，k,l为常数）：（1）+=+；（2）（+）+=+（+）；（3）存在零向量0=（），使得+0=；（4）存在的负向量=(),使得+（）=0；（5）1=；（6）k(l)=(kl)；（7）k(+)=k+k；（8）

3、（k+l）=k+l;如果记矩阵的第j列向量为：，（j=1,2,…,n）则由向量的线性运算，可将方程组Ax=b写成下列形式：而齐次线性方程组Ax=0则可写成向量形式：3．2向量组的线性相关性定义（线性组合）设一组n维向量，是一组常数，则称向量为向量的一个线性组合，并称为该线性组合的系数。定义（线性表示）对于n维向量，，如果存在一组常数。使得=或Ax=有解，其中矩阵A=[]。则称向量可由向量组线性表示。定理向量可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵A=[]的秩等于矩阵=[，]的秩。由于非齐次线性方程组解的情况只有3种：无解，有唯一解，有无穷解。所以，线性表示问题对应的

4、只有3种情况：不能表示，唯一表示，无穷多种表示法。例如，对于向量组则不能由，线性表示。又如，对于向量组，，，则可由，唯一的线性表示为：=+。再如，对于向量组，，，，则有=（1+c）+（1-c）+c（c为任意常数）可见，可由，，线性表示，但表示法是无穷的。定义（线性相关与线性无关）设一组n维向量，如果存在一组不全为零的常数，使得=0则称向量组线性相关。否则，称向量组线性无关。也就是说，仅在时才成立，则称线性无关。由定义知，向量组线性相关，也就是齐次线性方程组或Ax=0有非零解，其中矩阵A=[]。定理向量组线性相关的充分必要条件是矩阵A=[]的秩小于m；线性无关的充分

5、必要条件是矩阵A=[]的秩等于m.以下是有关向量组线性相关、线性无关的其他一些常用性质及判别法。定理向量组（m>1）线性相关的充分必要条件是该组中至少有一个向量可由其他m-1个向量线性表出。换言之，向量组线性无关的充分必要条件是该组中任何一向量都不能由其他m-1个，向量线性表示。定理设向量组线性无关，而向量组线性相关，则可由线性表出，且表示法唯一。定理如果向量组U的一个部分组线性相关，则向量组U线性相关（特别的，含有零向量的向量组线性无关）。换言之，线性无关组的任何一个部分组必线性无关。定理设有r维向量组，给分别添加一个分量，得r+1维向量组，如果线性无关，则任意

6、添加分量后所得的向量组也线性无关，换言之，若向量组线性相关，则也线性相关。定义（等价向量租）设有向量组（I）和（II），如果（I）中每一个向量都可由（II）线性表示，则称（I）可由（II）线性表示；如果（I）和（II）可以互相线性表示，则称（I）和（II）等价。总上，有下表：线性相关线性无关存在不全为]零，使得=0仅当时才有=0向量组的部分向量组线性相关，则整个向量组也线性相关线性无关向量组的一部分向量组也线性无关m=1时，=0m=1时，m=2时，与对应分量成比例m=2时，与对应分量不成比例R(A)

7、A

8、=0R(A)=m当m=n，

9、A

10、0m>n时，必

11、线性相关线性相关向量组减少对应位置的分量得到的向量组仍线性相关线性无关向量组在对应位置上增加分量得到的向量组仍线性无关定理设向量组（I）：可由向量组（II）：线性表示，（1）若r>s,则（I）线性相关。（2）若（I）线性无关，则rs.推论1等价的线性无关向量组所含有的向量的个数相同。推论2若m>n，则ｍ个ｎ维向量必线性无关。特别的，ｎ＋１个n维向量线性相关。3．3向量组的极大无关组与向量组的秩定义（向量组的极大无关组与向量组的秩）设向量组U中的向量满足：（1）线性无关（2）对于U中的任意向量可由线性表示。则称为向量组U的一个极大无关组（或最大无关组）；极大无关组所

12、含向量的个