线性代数各章要点整理

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1、第一章　行列式主要知识点　　一、行列式的定义和性质　　1.余子式和代数余子式的定义　　2.行列式按一行或一列展开的公式　　1）　　2）　　3.行列式的性质　　1）　　2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍.推论　　3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论　　4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.　　5）行列式可以按任一行（列）拆开.　　6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.　　二、行列式的计算　　1.二阶行列式和三角形行列式的计算.　　2.对一般数字

2、行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.　　3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.　　4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.　　5.范德蒙行列式的计算公式第二章　矩阵主要知识点　　一、矩阵的概念　　1.要分清矩阵与行列式的区别　　2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）　　　　二、矩阵的运算　　1.矩阵A,B的加、减、乘有意义的充分必要条件　　2.矩阵运算的性质　　比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和

3、结合律；乘法关于加法的分配律）　　重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.　　　　　　3.转置对称阵和反对称阵　　1）转置的性质　　　　2）若AT=A（AT=-A），则称A为对称（反对称）阵　　4.逆矩阵　　1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，　　.　　2）方阵A的伴随阵的定义。重要公式；与A-1的关系　　（当方阵A可逆时，）　　3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B，B-1=A.　　4）逆矩阵的性质：　　;;.　　5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA

4、=CA），则必有B=C。（若不知A可逆，　　仅知A≠0结论不一定成立。）　　5.方阵的行列式　　　　　　6.分快矩阵　　矩阵运算时分快的原则；分快矩阵的运算规则；分快矩阵的转置　　　　　　三、矩阵的初等变换和初等矩阵　　1.初等变换的定义和性质　　方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）　　初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵A化为标准形，其中r为矩阵A的秩.　　2.初等矩阵的定义和性质　　1）初等矩阵的定义　　2）初等变换和矩阵乘法之间的关系　　3）对任意m

5、×n阶矩阵A，总存在一系列m阶初等阵和一系列n阶初等阵使得　　　　四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法　　　　五、矩阵方程的标准形及解的公式　　第三章　向量空间主要知识点　　一、n维向量线性运算的定义和性质;　　设是一组n维向量构成的向量组。如果存在一组不全为零的数使得则称向量组线性相关。否则，称向量组线性无关。　　　　二、n维向量组的线性相关性　　1.向量组的线性相关性的定义和关于线性相关的几个定理;　　（1）m个n维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.　　线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性

6、组合.　　（2）如果向量组线性无关,而线性相关,则β可由线性表示,且表示法唯一.　　（3）线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.（部分相关，则整体相关；或整体无关，则部分无关）　　（4）若向量组线性无关,则接长向量组　　必线性无关.　　2.判断向量组的线性相关性的方法　　（1）一个向量α线性相关；　　（2）含有零向量的向量组必线性相关；　　（3）向量个数＝向量维数时，n维向量组线性相关　　；　　（4）向量个数>向量维数时,向量组必线性相关；　　（5）若向量组的一个部分组线性相关，则向量组必线性相关；　　（6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无

7、关；　　（7）向量组线性无关向量组的秩＝所含向量的个数，　　向量组线性相关向量组的秩<所含向量的个数；　　（8）向量组线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组　　　　有（没有）非零解.　　三、向量组的极大无关组及秩　　1.极大无关组的定义　　2.向量组的秩求向量组的秩和极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法　　四、子空间的定义，,基、维数、向量在一组基下的坐标第四章　线性方程组一、线性方程组的三种表示方法　　　　　　　　二、齐次线性方程组　　1.齐次方程组解的性质　　设α,β都是Ax＝0的解，则C1α＋C2β也是Ax＝0的解（C1，C2为任意常

8、数）　　2.齐次方程组有