柯西许瓦兹不等式的推广及其应用毕业论文

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1、本科生毕业论文柯西-许瓦兹不等式的推广与应用摘要：柯西-许瓦兹不等式在许多领域都有广泛应用，如线性代数的矢量运动、数学分析的无穷级数、函数乘积的积分、概率论的方差和协方差等方面。柯西-许瓦兹不等式在不同的空间有着不同的形式，同时也有着许多的变形及推广。本文总结了柯西-许瓦兹不等式在实数域、微积分、欧氏空间以及概率空间中的形式及其证明，并给出了它的一些推广和应用。关键词：柯西-许瓦兹不等式；实数域；欧氏空间；概率空间TheGeneralizationandDistortionofCauchy-Schwar

2、zInequalityAbstract:Cauchy-Schwarzinequalityhaswildapplicationsinmanyareassuchasmotionvectorinlinearalgebra,theinfiniteseriesinmathematicalanalysis,theintegralproductoffunction,varianceandcovarianceinprobabilitytheoryetc.Itisusedinthedifferentspaceswithd

3、ifferentforms,andhasalotofdistortionsandgeneralization.  ThispapersummarizestheformanditsproofofCauchy-Schwarzinequalityintherealfields,calculus,Euclideanspace,probabilityspace,andgivesitsgeneralizationandapplication.Keywords:Cauchy-Schwarzinequality;Rea

4、lnumberfield;Euclideanspace;Probabilityspace1、柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广与应用1.1柯西-许瓦兹不等式在实数域中的定义定义:设,则有（1.1）其中当且仅当(为常数)等号成立。柯西-许瓦兹不等式在实数域中有着广泛的应用，现在我们通过它的三种证明方法，来加深对其的理解。证法一：我们利用一元二次函数的知识来证明证明：设，则由于,因此上述不等式的判别式，则即证法二：利用一元二次不等式的知识来证明证明：平方和绝不可能是负数，故对每一个实数都有其中，等号当且仅当

5、每一项都等于0时成立，该不等式可以变形为，其中，如果,不等式显然成立如果，因为恒成立，所以成立即等号当且仅当(为常数)成立。证法三：利用向量的知识来证明证明：设是两个维向量，则由于因此，即当时等号成立，即或时，也即与共线时等号成立.1.2柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广推论1.柯西-许瓦兹不等式在实数域中的基本变形与推广在（1.1式）中，令，则（1.2）（1.3）令则（1.4）（1.1）（1.5）（1.1）（1.6）推论2.将柯西-许瓦兹不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式.赫尔德不等式：对任意的非

6、负数有其中满足且（1.7）证明：利用不等式其中为非负数且得赫尔德不等式中，当时为柯西-许瓦兹不等式。推论3.若将则可导出相应的无穷不等式设数项级数与收敛，则也收敛，且（1.8）推论4.设为组正实数，则有证明：令其中由平均值不等式得对之作和得所以有：1.3柯西-许瓦兹不等式在实数域中的应用例1-1．设，求证：证明：不等式左边等于所以得证.例1-2．若都是正数，又（常数），求证：.证明：根据柯西-许瓦兹不等式（1.1）式可得于是得：例1-3设，若则；解：应用（1.1）式，例1-4．证明中任意三点满足三角不等

7、式证明：设若式成立，则有：则而于是：即：由（1.1）式知上式成立，所以可得例1-5.设，则有当且仅当时等号成立.证明：由（1.1）式可得，则：所以例1-6．已知且不等式恒成立，求的取值范围。解：故参数的取值范围是2、柯西-许瓦兹不等式在微积分中的推广与应用2.1柯西-许瓦兹不等式在微积分中的定义定义：设,在上可积，则（2.1），或与成正比，则等号成立.证明：因为,都在上可积，则由定积分的性质均在上可积，对区间进行等分，分点为由定积分的定义，有由式可知再由极限的保号性易知（2.1）成立若对，或与成正比，则

8、（2.1）式中等号成立，但其逆不真.2.2柯西-许瓦兹不等式在微积分中的推广推论1.（明可夫斯基不等式）设,都在上可积，则有明可夫斯基不等式（2.2）证明：由（2.1）式可知因为两边都大于等于零，且右边大括号内也大于等于零，所以有推论2：当存在一组不全为零的使得时等号成立，不等式（2.1）可以改写为以下行列式形式（2.3）以这样的形式给出的好处在于形式美观便于推广设均在上可积，则有（2.4）证明:注意到关于的二次型为非负二次型，从而其系数行