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1、（1）设为阶正定矩阵，则成立。证明因为为阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵使得，，，显然是阶正定矩阵，它的特征值全为正的，由矩阵的特征值和迹在相似变换下保持不变，于是。（2）设为阶半正定矩阵，则成立。证明对任意，有为阶正定矩阵，令，由连续性,可知,。定理(Cauchy-Schwarz不等式)设在上可积，则有。证明证法一对区间的任意分割：，任取，，，记，；由于成立，在上式中，令取极限，则得到；证法二考虑二次函数，；如果，在上式中取，得到，13从而，于是成立；如果，则对，成立，必有，此时自然成立，。（几乎以前所有的人，都忽略了这种情
2、况。）故结论得证。柯西—许瓦兹不等式，Holder不等式的应用例题定理11（Newman不等式）设正整数,实数,且，则有.证明由于，所以.定理5设且，则有。证明方法一由,得.方法二利用Holder不等式,得13由几何平均算术平均不等式,得，于是，方法三考虑函数,在,下的条件极值。1．（Klamkin）不等式定理1设且.则有.证明.考虑函数,在下的条件极值,即可获证。定理2设且则成立.证明证法一利用条件及三元几何平均算术平均不等式,得，结果得证。证法二.定理3设且,则成立.13证明，结果成立。Bernoulli不等式的应用定
3、理1(贝努利不等式)设，实数都大于，并且它们都有着相同的符号，则成立；特别地，当，且，成立，（，）。P15572（Weierstrass不等式）定理2（Weierstrass不等式）设（）都是正实数，且，则成立（1）；（2）。推论2设,且.则成立.证明利用Bernoulli不等式，得P15268设是不全相等的正数，记则当时，有证明利用几何平均算术平均不等式，得，13于是推论当时，有。证明。P15269（1）设均为正数，且则。证明利用Young不等式，得由此，结果得证。直接利用Hölder不等式定理12设正整数,有理数,且,
4、对任意实数,成立.P15573设则（1）不等式）；（2）。证明（1）方法一利用在上的凸性，得到，再令，即可得证。方法二直接利用Hölder不等式的推论，得到13,即结果得证;（2）直接利用几何算术平均不等式,即可得到证明.Cauchy不等式的应用。;.,其中设，则有证明，，于是结果得证。127设则证明利用Cauchy-Schwarz不等式得13又，，于是从而，结果得证。例设且.则。证明由Cauchy—Schwarz不等式，于是P182145（Shapiro不等式）设令，则仅当所有相等时等号成立。证法一利用Cauchy—Sc
5、hwarz不等式，得从而。13证法二再由，，于是，从而故得.P185150设且.则证明由得，利用Cauchy—Schwarz不等式，得，，再由,,13,故得。P175126证明利用三角不等式，得P175127设均为正数，表示集合的全部置换的集合，则。证明利用Minkowski不等式和Jensen不等式，得，任意。于是，结论得证。P178.Peetre不等式：设，则成立证明由得同理13当时，当时，当时，结论显然成立,故结果得证.抛物距离设，，定义，则是定义在上的一个距离。事实上对任意，。定理12设正整数,有理数,且,对任意实
6、数,成立.P11乘积型Minkowski不等式:（1）设，则。证明利用Holder不等式，得13（1）行列式的Minkowski不等式：设为阶正定矩阵，则成立,式中表示相应的行列式。证明因为为阶正定矩阵，所以亦是正定矩阵，的特征值为正，设的特征值为，则有于是。由连续性,可知,设为阶半正定矩阵，则成立,式中表示相应的行列式.P355例5.1.29设试证如下级数收敛。证明，显然单调递增，故级数收敛。13例设若发散，试证证明由于,由,由条件知，,从而得于是,即得定理(Minkowski不等式)设在上可积，则有.证明因为，若，则不
7、等式自然成立；若，则消去公因子，所以1.用Cauchy-Schwarz不等式证明（1）若f(x)在[a,b]上可积，则;13（1）若f(x)在[a,b]上可积，且，则在[a,b]上可积；且.13
