毕业论文柯西-许瓦兹不等式的推广与应用

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1、华北水利水电学院题目：柯西-施瓦兹不等式应用求极值课程名称：高等数学（2）专业班级：应用化学2011123成员组成：姓名:郑永帅学号：201112323姓名：姜林强学号：201112325联系方式：13526021053182369143712012年05月20日-18-柯西-许瓦兹不等式的推广与应用摘要：柯西-许瓦兹不等式在许多领域都有广泛应用，如线性代数的矢量运动、数学分析的无穷级数、函数乘积的积分、概率论的方差和协方差等方面。柯西-许瓦兹不等式在不同的空间有着不同的形式，同时也有着许多的变形及推广。

2、本文总结了柯西-许瓦兹不等式在实数域、微积分、欧氏空间以及概率空间中的形式及其证明，并给出了它的一些推广和应用。关键词：柯西-许瓦兹不等式；实数域；欧氏空间；概率空间TheGeneralizationandDistortionofCauchy-SchwarzInequalityAbstract:Cauchy-Schwarzinequalityhaswildapplicationsinmanyareassuchasmotionvectorinlinearalgebra,theinfiniteseriesin

3、mathematicalanalysis,theintegralproductoffunction,varianceandcovarianceinprobabilitytheoryetc.Itisusedinthedifferentspaceswithdifferentforms,andhasalotofdistortionsandgeneralization.  ThispapersummarizestheformanditsproofofCauchy-Schwarzinequalityintherea

4、lfields,calculus,Euclideanspace,probabilityspace,andgivesitsgeneralizationandapplication.Keywords:Cauchy-Schwarzinequality;Realnumberfield;Euclideanspace;Probabilityspace-18-1引言2研究问题及成果2.1柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广与应用2.1.1柯西-许瓦兹不等式在实数域中的定义2.1.2柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广2.1

5、.3柯西-许瓦兹不等式在实数域中求极值的应用2.2柯西-许瓦兹不等式在微积分中的推广与应用2.1.1柯西-许瓦兹不等式在微积分中的定义2.2.2柯西-许瓦兹不等式在微积分中的推广2.3.3柯西-许瓦兹不等式在微积分中的应用求极值3结束语4参考文献-18-引言：在微积分、线性代数和概率论等学科中，从不同的角度和方法对同一事物做出证明和诠释，著名的柯西不等式就是一个具体的例子。它可以充分说明人类思维的多样性和不同领域的数学之间的内通行、渗透性和完备性。此外，不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支，

6、本文主要介绍著名的不等式——柯西—斯瓦兹不等式求函数极值及其在初等数学解体中的应用。柯西不等式是一个重要的不等式，本文用了几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式，解方程等方面的应用。-18-1、柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广与应用1.1柯西-许瓦兹不等式在实数域中的定义定义:设,则有（1.1）其中当且仅当(为常数)等号成立。柯西-许瓦兹不等式在实数域中有着广泛的应用，现在我们通过它的三种证明方法，来加深对其的理解。证法一：我们利用一元二次函数的知识来证明证明：设，则由于,因

7、此上述不等式的判别式，则即证法二：利用一元二次不等式的知识来证明证明：平方和绝不可能是负数，故对每一个实数都有其中，等号当且仅当每一项都等于0时成立，该不等式可以变形为，其中，如果,不等式显然成立如果，因为恒成立，所以成立即等号当且仅当(为常数)成立。证法三：利用向量的知识来证明-18-证明：设是两个维向量，则由于因此，即当时等号成立，即或时，也即与共线时等号成立.1.2柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广推论1.柯西-许瓦兹不等式在实数域中的基本变形与推广在（1.1式）中，令，则（1.2）（1.3）令则（

8、1.4）（1.1）（1.5）-18-（1.1）（1.6）推论2.将柯西-许瓦兹不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式.赫尔德不等式：对任意的非负数有其中满足且（1.7）证明：利用不等式其中为非负数且得赫尔德不等式中，当时为柯西-许瓦兹不等式。推论3.若将则可导出相应的无穷不等式设数项级数与收敛，则也收敛，且（1.8）推论4.设为组正实数，则有-18-证明：令其中由平均值不等式得对之作和得所以有：1.3柯西-许瓦兹不等式在实数域