柯西-西瓦兹不等式的推广与应用毕业论文

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1、柯西-西瓦兹不等式的推广与应用毕业论文1、柯西-西瓦兹不等式在实数域中的推广与应用1.1柯西-西瓦兹不等式在实数域中的定义定义:设,则有（1.1）其中当且仅当(为常数)等号成立。柯西-西瓦兹不等式在实数域中有着广泛的应用，现在我们通过它的三种证明方法，来加深对其的理解。证法一：我们利用一元二次函数的知识来证明证明：设，则由于,因此上述不等式的判别式，则即证法二：利用一元二次不等式的知识来证明证明：平方和绝不可能是负数，故对每一个实数都有其中，等号当且仅当每一项都等于0时成立，该不等式可以变形为25，其中，如果,不等式显然成立如果，因为恒成立，所以成立即等号当且

2、仅当(为常数)成立。证法三：利用向量的知识来证明证明：设是两个维向量，则由于因此，即当时等号成立，即或时，也即与共线时等号成立.1.2柯西-西瓦兹不等式在实数域中的推广推论1.柯西-西瓦兹不等式在实数域中的基本变形与推广在（1.1式）中，令，则（1.2）（1.3）令则25（1.4）（1.1）（1.5）（1.1）（1.6）推论2.将柯西-西瓦兹不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式.赫尔德不等式：对任意的非负数有其中满足且（1.7）证明：利用不等式其中为非负数且得赫尔德不等式中，当时为柯西-西瓦兹不等式。推论3.若将则可导出相应的无穷不等式设数项级数与收敛，则也

3、收敛，且25（1.8）推论4.设为组正实数，则有证明：令其中由平均值不等式得对之作和得所以有：1.3柯西-西瓦兹不等式在实数域中的应用例1-1．设，求证：证明：不等式左边等于所以得证.25例1-2．若都是正数，又（常数），求证：.证明：根据柯西-西瓦兹不等式（1.1）式可得于是得：例1-3设，若则；解：应用（1.1）式，例1-4．证明中任意三点满足三角不等式证明：设若式成立，则有：则而25于是：即：由（1.1）式知上式成立，所以可得例1-5.设，则有当且仅当时等号成立.证明：由（1.1）式可得，则：所以例1-6．已知且不等式恒成立，求的取值范围。解：25故参数

4、的取值范围是2、柯西-西瓦兹不等式在微积分中的推广与应用2.1柯西-西瓦兹不等式在微积分中的定义定义：设,在上可积，则（2.1），或与成正比，则等号成立.证明：因为,都在上可积，则由定积分的性质均在上可积，对区间进行等分，分点为由定积分的定义，有由式可知再由极限的保号性易知（2.1）成立若对，或与成正比，则（2.1）式中等号成立，但其逆不真.2.2柯西-西瓦兹不等式在微积分中的推广推论1.（明可夫斯基不等式）设,都在上可积，则有明可夫斯基不等式（2.2）证明：由（2.1）式可知25因为两边都大于等于零，且右边大括号内也大于等于零，所以有推论2：当存在一组不全为

5、零的使得时等号成立，不等式（2.1）可以改写为以下行列式形式（2.3）以这样的形式给出的好处在于形式美观便于推广设均在上可积，则有（2.4）证明:注意到关于的二次型为非负二次型，从而其系数行列式从而得证.推论3:设均在上可积，则有（2.5）2.3柯西-西瓦兹不等式在微积分中的应用25例2-1.设在上连续，且试证：证明：同理有：则例2-2．设在上连续，证明：证法一：把不等式中的换成,移项得设则为单调函数，故，所以证法二：根据得证.证法一用构造辅助函数，再利用函数的单调性证明，证法二利用柯西-西瓦兹不等式证明，所以我们可以看出后者比前者简单的.25例2-3.设均在

6、上可积且满足（1）（2）则有证明：利用（2.4）式取.并注意到，则有由此得到注意到定义中的条件（1），于是，从而得例2-4．设在上有连续的导数，，试证：证明：令则，由知因此例2-5．设在上连续，且，证明证明：由（2.1）式得例2-6.设在[0,1]上连续可微，并且.证明:25证明：由于根据（2.1）式即例2-7．设在上具有连续可导，，且，证明:证明：由于在上对任何实数都不恒等于0，否则，设有使由此可解得：,再由，得，这与矛盾。由上知，有严格不等式而从而有例2-8．设在上可微且连续，,证明：证明：因为连续，且，故因为，故从到积分得到：253、柯西-西瓦兹不等式在

7、维欧氏空间中的推广与应用3.1柯西-西瓦兹不等式在维欧氏空间中的定义定义：设在维欧氏空间中，是两个任意的维向量，则（3.1）或（3.2）证明:考虑关于变元的一元二次方程此方程或者只有0解或者无实数解，将方程整理得：我们知道一元二次方程只有0解或者无解得条件为所以得：即即3.2柯西-西瓦兹不等式在n维欧氏空间中的推广柯西-西瓦兹不等式在一个欧氏空间里，对于任意的有不等式当且仅当与线性相关时，等号成立.这个不等式用于欧氏空间中，对于任意的则有这是柯西不等式。不等式用于欧氏空间中，对于任意,有是西瓦兹不等式.若设，则命题可叙述为:设是一个欧氏空间，则对有，当且仅当与

8、线性相关时，等号成立.下面将此命题推广