江苏省苏州园区2015届高考数学4月联考试卷

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1、2015届江苏苏州园区高三年级联考试卷(2015.4.24)数学试题参考公式:锥体的体积公式:,其中为锥体的底面积,为高.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)开始输入m,n否是结束输出m求m除以n的余数rm←nn←rr=0?第6题图1.设集合,集合,则。2.若复数(其中为虚数单位),则。3.为了解1000名学生的学习情况,现采用系统抽样的方法从中抽取容量为40的样本,则抽样中分段的间隔为。4.有两个不透明的箱子,每个箱子里都装有3个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3.甲从其中一个箱子中随机摸出一个球,乙从另一个箱子

2、中随机摸出一个球,谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),则甲没有获胜的概率为。5.“”是“抛物线的准线恰好与双曲线的一条准线重合”的条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)。6.图中的程序框图描述的是“欧几里得辗转相除法”的算法。若输入,,则输出。DABCG(D)E(D)F(D)7.若变量满足,则的最小值为。8.四面体沿棱剪开,将面,面和面展开落在平面上,恰好构成一个边长为1的正方形(如图所示),则原四面体的体积为。9.设函数在处取得最值,若数列是首项与公差均为的等差数列,则的值为。yxxyOO2-2-221-1-11第10题图(甲)第1

3、0题图(乙)1-110.奇函数与偶函数的图象分别如图甲与图乙所示,设方程与的实根个数分别为,则的值为。11.设正实数满足,则的最小值为。12.已知圆的半径为,是圆上的两点,且,是圆的任意一条直径,若点满足,则的最小值为。13.在平面直角坐标系中,已知点,,一条直线过点,且与单位圆恒相切.若有且只有两个点满足:①;②点到直线的距离为1,则实数的取值范围是。14.设等差数列的各项均为整数,其公差,,若无穷数列构成等比数列,则数列的前2015项中是该等比数列中项的个数为。二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15.(

4、本小题满分14分)已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式;xy3O﹣1(2)若,求函数在区间上的单调减区间.16.(本小题满分14分)ABCA1B1C1PQR在直三棱柱中,,,点分别是棱的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.17.在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,上顶点为,直线与椭圆交于两点,且的面积为.(1)求椭圆的标准方程;xyOBCDlPQMNm(2)设点是椭圆上一点,过点引直线,其倾斜角与直线的倾斜角互补.若直线与椭圆相交,另一交点为,且直线与轴分别交于点,求证:为定值。18.如图所示,某镇有一块空地,其中,,.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点

5、,拟在中间挖一个人工湖,其中都在边上,且,挖出的泥土堆放在地带上形成假山,剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在的一周安装防护网.(1)当时,求防护网的总长度;(2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍,试确定的大小;OABMN(3)为节省投入资金,人工湖的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使的面积最小?最小面积是多少?19.设,且,数列的前项和为,已知数列是首项为0,公差为1的等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设是给定的正整数,,数列满足.①当时,求数列的前项和;②设数列满足,试求数列中最大项的值.20.已知函数().(1)当时,求函数在上的最大值;(2)若函数

6、在区间上不单调,求的取值范围;(3)当时,设,其中,试证明:函数在区间上有唯一的零点.(参考公式:若,则)2015届高三年级联考试卷数学参考答案1.2.3.254.5.充要6.17.8.9.10.1411.12.213.14.715.解:(1)由图知,解得,…………2分又,所以,故,…………4分所以,将点代入,得,再由,得,所以.…………6分(2)因为,………10分由,解得,又,故所求的单调减区间为.………14分16.证明:(1)在直三棱柱中,且,而点分别是棱的中点,所以且,所以四边形是平行四边形,………2分即且,又且,所以且,即四边形是平行四边形,所以,………4分又平面,所以平面.……

7、…6分(2)因,所以四边形是正方形,所以,又点分别是棱的中点,即,所以.………8分因,点是棱的中点,所以,由直三棱柱,知底面,即,所以平面,即,………10分所以平面,………12分又平面,所以平面平面.………14分17.解:(1)由,得,,………2分联立,得,所以,………4分又上顶点到直线的距离为,所以的面积为,解得,即椭圆的方程为.………8分(2)设,则,因为直线与直线的倾斜角互补,所以,所以直线的方程为,令,得;令,得.………10

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