试题名称：全国初中数学竞赛辅导（初2）第23讲几何不等式

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1、第二十三讲几何不等式　　平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．　　在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．　　几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用

2、到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．　　定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．　　定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．　　定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．　　定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．　　定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．　　说明如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞H

3、B．事实上，　　由勾股定理知PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，　　所以PA2-PB2=HA2-HB2．　　从而定理容易得证．　　定理6在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有PA≤max｛AB，AC｝，　　当点P为A或B时等号成立．　　说明max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而PA≤max｛AB，AC｝．　　同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝．　　例1在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明

4、：PB＞PC(图2-137)．　　证在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．　　过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．　　如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．　　　例2已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．　　(1)求证：＜a＋b＋c；　　(2)若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB＋PC＜2．　　证(1)由三角形两边之和大于第三边得　　PA＋PB＞c，PB

5、＋PC＞a，PC＋PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得　　又由定理4可知PA＋PB＜a＋b，PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．　　把它们相加，再除以2，便得PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．　　所以　　(2)过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图2-138所示．于是PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，　　所以PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC=AB＋AE＋EC=2．　　例3如图2-139．在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB

6、＋AC=DB＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE．　　证在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC　　=AB+AC=2AC，　　所以DB＞AC．　　由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以DC＋BF=AC=AB．　　在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．　　在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．　　由定理3，∠1＞∠2，所以AE＞DE．　　例4设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：　　分析在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所为边的三

7、角形．　　证如图2-140，在GK上取一点M，使GM=MK，则　　在Rt△GCK中，CM是GK边上的中线，所以∠GCM=∠MGC．　　而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是∠MGC＞45°，　　所以∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．　　由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故　　例5如图2-141．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．证明：　　(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；　　(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．　　证(1)过

8、点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC