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时间:2018-04-06
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1、直线方程及其应用一.教学内容:直线方程及其应用【教学要求】1.理解直线斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练求出直线方程。2.掌握两直线平行、垂直的条件;掌握两条直线所成角的公式和点到直线的距离公式。3.了解二元一次不等式表示平面区域,了解线性规划的意义,并会简单应用。二.知识串讲:(一)基本公式1.有向线段设P1(x1,y1),P2(x2,y2)P为内分点,λ>0;P为外分点,λ<0。例如:设△ABC,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)2.直线l的倾斜角α(直线向上的方向与x轴的正方向
2、所成的最小正角)(二)直线方程1.直线方程:(1)点斜式:y-y0=k(x-x0)(已知:点P0(x0,y0),斜率k)(2)斜截式:y=kx+b(已知:斜率k及纵截距b)(3)两点式:(4)截距式:(5)一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)2.两条直线的位置关系:(5)夹角θ:按逆时针方向从l1转到l2所成的角,叫做l1到l2的角。两条直线相交所成的锐角或直角,叫做两条直线的夹角θ。3.点到直线的距离公式:P(x0,y0)是已知点,l:Ax+By+C=0是已知直线,则4.对称点:5.直线系方程:(1)过定点(x1,y1)的直线系方程:(2)平行于直
3、线Ax+By+C=0的直线系方程:(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:系方程:(三)简单的线性规划1.二元一次不等式表示平面区域一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0)从Ax0+By0+C的正、负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的区域。(若C≠0时,可取原点(0,0))由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。2.线性规划:I.基本概念:(1)线性约束条件:由x,y的一次不等式(或方程
4、)组成的不等式组,是对x,y的约束条件。(2)目标函数:线性目标函数:关于x,y的一次解析式。(3)可行解:满足线性约束条件的解(x,y)。(4)可行域:所有可行解组成的集合。(5)最优解:使目标函数达到最值的可行解。(6)线性规划问题:求线性目标函数在约束条件下的最大(小)值问题。II.用图解法解线性规划的步骤:(1)分析并将已知数据列出表格;(2)确定约束条件;(3)确定线性目标函数;(4)画出可行域;(5)利用线性目标函数,求出最优解;(6)实际问题需要整数解时,应适当调整确定最优解。例如:已知动点(x,y)所在区域是如图所示的阴影部分(包括边界),则目
5、标函数z=x+2y的最小值和最大值分别为_____________。解:作直线x+2y=0平移此直线经过第一个点是(1,0)再往上平移到最后一点为(4,4)【典型例题】例1.解析:∴选C例2.解析1:求出交点坐标,再由交点在第一象限求得斜率的范围,进而得到倾斜角的范围。解析2:例3.一条直线经过点P(2,3),并且分别满足下列条件,求直线方程:(1)倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍。(2)与x,y轴的正半轴交于A、B两点,且△AOB的面积最小。解:(1)设所求直线的倾斜角为θ,已知直线的倾斜角为α,则例4.证明一:以B为坐标原点,直线BC为x轴,建立
6、如图所示的直角坐标系。取
7、BC
8、为单位长1,则各点坐标为:∴AP⊥CP证明二:以B为坐标原点,直线BC为x轴,建立如图所示的直角坐标系,过D作DF∥BE交AC于F点,取
9、BC
10、为单位长1,则∴AP⊥CP说明:数形结合强调的是将代数问题几何化,而解析法则是通过坐标系将几何问题代数化。例5.已知直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0互相平行,求过点解:例6.解:解法1:在直线l1上取一点B(2,0),设点B关于直线l的对称点C的坐标为C(x0,y0)解法2:到角公式):例7.解:(由三角形两边之差小于第三边)且为1。注:例8.A.只能是(-3,0)
11、B.只能是(0,6)C.只能是(-3,0)或(0,6)D.有无数个解析:则平移向量为(-3,0),就可能误选A。显然(h,k)不唯一确定∴选D例9.解:带状区域,但不包括直线x=1和x=3上的点。所以,原不等式组表示的区域如图所示:例10.某工厂有甲、乙两种产品,计划每天各生产量不少于15t,已知生产甲产品1t,需煤9t,电力4kW·h,劳动力3个;生产乙产品1t需煤4t,电力5kW·h,劳动力10个。甲产品每1t利润7万元,乙产品每1t利润12万元,但每天用煤不超过300t,电力不超过200kW·h,劳动力只有300个,问每天各生产甲、乙两种产品多少,能使利
12、润总额达到最大?分析:将已知数据列成表
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