直线方程2文本资料

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1、直线方程一.教学内容：直线方程［知识点］1.直线方程两点式：方程？解：注意：（1）特殊情况：x＝x1或y＝y1不能用两点式表示，即与x轴平行或与x轴垂直的直线不能用两点式表示，故平面上的直线与两点式方程不是一一对应。（2）两点式变形形式：（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）此方程与平面上的直线一一对应。2.直线方程的截距式：公式推导：已知直线与x轴交于A（0，a）与y轴交于B（b，0），其中（a≠0，b≠0）求直线l的方程。注意：（1）特殊情况：当a＝0或b＝0时不能用上式，即

2、过原点或与x轴平行或与y轴平行的直线不能用截距式。（2）截距式是两点式的特殊情况。3.直线方程的一般式：适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可由一般式表示出来。4.关于直线方程形式间的互化方法。【典型例题】例1.已知直线过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l的方程。解：例2.如图，已知直线l经过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B。（1）求三角形AOB面积的最小值及此时直线l的方程。（2）求直线l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线的方程。解：

3、（1）法一：设A（0，a），B（b，0）（a＞0，b＞0）法二：法三：∵a为实数，∴△≥0法四：过P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN（M、N为垂足），并设θ＝∠PAM＝∠BPN（2）法一：法二：例3.已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是-3和4，求m，n的值。分析：（1）将直线方程化成截距式后（或直接）求出直线在两轴上的截距、解关于m，n的方程组。（2）由已知条件，直线经过点A（-3，0）、B（0，4），由此得m，n的方程组，解之即可。解法1：由截距意义知，直线经过A（-3，0

4、）和B（0，4）两点，因此有解法2：将方程mx＋ny＋12＝0化为截距式，得：例4.解析：例5.距离相等。分析：（1）设P（x，y），则有y＝3x＋1，故点P的坐标为（x，3x＋1），由距离公式得x的方程，解得x＝0。（2）设P（x，y），求出两点（1，-1），（2，0）的中垂线方程为x＋y－1＝0，再解方程组得P（0，1）。解法1：设P（x，y），则有y＝3x＋1故点P的坐标为（x，3x＋1）解之得：x＝0∴所求的点为P（0，1）解法2：设P（x，y），两点（1，-1），（2，0）所连线段的中

5、垂线方程为：解由<1>、<2>组成的方程组得：P（0，1）例6.（1）证明直线l过定点；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程；（3）若直线不经过第四象限，求k的取值范围。分析：（1）证直线系过定点，可用分离参数法。（2）求△AOB面积S的最小值，应先求出目标函数S＝f(k)，再根据目标函数的结构特征选择最小值的求法。（3）直线不经过第四象限的充要条件是：直线在x轴上的截距小于或等于-2，在y轴上的截距大于或等于1。或由直线经过定

6、点（-2，1）知斜率大于或等于零。解：（1）直线l的方程是：∴无论k取何值，直线总经过定点（-2，1）（2）由l的方程，得：解得：k＞0解之得：k＞0小结：本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”，也是证明曲线系过定点的一般方法。例7.分析：利用所求直线上任意一点P关于点A的对称点P’在已知直线上的关系求解。解：设P（x，y）为所求直线上任一点，则：∵线段PP’的中点为A（1，-1）注意：本题是一个关于点对称的直线的求法问题，要注意利用点对称的特点求解。例8.一根弹簧挂6公斤的物体时，长1

7、1cm，挂9公斤的物体时，长17cm。已知弹簧长度l（cm）和所挂物体的重量w（公斤）的关系可以用直线方程来表示。用两点式表示这个方程，并根据这个方程，求弹簧长为13cm时所挂物体的重量。解：以Ow为横坐标轴，以Ol为纵坐标轴建立直角坐标系（如图所示）由题意知直线过点（6，11）和点（9，17）由直线的两点式方程得所求直线的方程为：∴w＝7即弹簧长为13cm时所挂物体的重量为7公斤。小结：因为弹簧长l和所挂物体的重量w的关系可以用直线方程来表示，并且弹簧挂6公斤的物体时，长11cm；弹簧挂9公斤

8、的物体时，长17cm。所以直线过点（6，11）和（9，17）。由直线方程的两点式求出l、w关系，得解。例9.解：小结：由直线方程的一般式求直线的倾斜角时，须先求其斜率，这时通常把直线方程化成斜截式（若直线没有斜率即y的系数为0，则直线的倾斜角为90°，此时直线方程没有斜截式），然后根据斜率再求直线的倾斜角。当直线的斜率k≥0时，直线的倾斜角为arctank；当直线的斜率k＜0时，直线的倾斜角为π＋arctank。例10.证明：如图所示，过P（x1，y1）作直线垂直于x轴，交直线l于M设M点的坐标