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1、竞赛讲座22-因式分解因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，下面我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，结合竞赛再补充介绍添项、拆项法，待定系数法、换元法、对称式的分解等有关内容和方法. 1.添项.拆项法 添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式，解题时要注意观察分析题目的特点. 例1 （1986年扬州初一数学竞赛题）分解因式 （1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)
2、 =[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2 =[(1+y)+x2(1-y)+2x]·[(1+y)+x2(1-y)-2x] =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 例2（第11届国际数学竞赛题）证明：具有如下
3、性质的自然数a有无穷多个，对于任意的自然数m.z=n4+a都不是素数. 证明 设a=4k4（k为大于1的自然数），则 z=n4+a =n4+4k4 =n4+4n2k2+4k4-4n2k2 =(n2+2k2)2-4n2k2 =(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk) =[(n+k)2+k2][(n-k)2+k2]. ① ∵k为大于1的自然数， ∴(n+k)2+k2＞1, (n-k)2+k2＞1 故①的右边两个因子都大于1，故当k＞1时，z是合数. 由于大于1的自然数k有无穷多个，
4、故有无穷多个自然数a，使n4+a对一切自然数n总非素数 2.待定系数法 若两多项式f(x)=g(x)，则它们同次的对应项系数一定相等，利用这条结论可将某些因式分解的问题转化为解方程组的问题来解决. 例3分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4. 解 由于3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y)，故可设 3x2+5xy-2y2+x+9y-4 =(3x-y+a)(x+2y+b) =3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab. ①②③ 比较两边系数得 由①,②联立得a=4,b=-1,代入③式适合. ∴
5、原式=(3x-y+4)(x+2y-1). 例4 (1963年北京中学生数学竞赛试题)已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数,若bd+cd是奇数,,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积. 证明 设 x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r) =x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr (其中p、q、r均为整数) 比较两边系数得 pr=d. 又 bd+cd=d(b+c)是奇数,故b+c与d均为奇数,那么pr也是奇数,即p与r也是奇数.今以x=1代入(因为它是恒等式)得 1+b+c+d=
6、(1+p)(1+q+r). ① ∵b+c,d为奇数,∴1+b+c+d也为奇数,而p为奇数,∴1+p为偶数. ∴(1+p)(1+q+r)为偶数.这说明等式①的左端为奇数,右端为偶数,这是不可能的. 所以,所述多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积. 3.换元法 例5 分解因式 (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120. 解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120 =(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120 =(x2+5x+6)(x2+5x+4)-
7、120 令 x2+5x=A, 代入上式,得 原式=(A+6)(A+4)-120=A2+10A-96 =(A+16)(A-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1) 例6 证明a(a+1)(a+2)(a+3)+1必为完全平方数 解 原式=a(a+3)(a+1)(a+2)+1 =(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1 =(a2+3a+1)2 ∴a(a+1)(a+2)(a+3)+1为完全平方数. 说明:这
8、里未设新元,但在思想上把a2+3a看作一个新元素. 4.对称式的因式分解 在
