竞赛专题-因式分解

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1、竞赛专题：因式分解一、重要公式1、a2－b2=(a＋b)(a－b)；an－1=(a－1)(an-1＋an-2＋an-3＋…＋a2＋a＋1)2、a2±2ab＋b2=(a±b)2；3、x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b);4、a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2);a3－b3=（a－b）(a2＋ab＋b2);二、因式分解的一般方法及考虑顺序1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；1、添项拆项[例1

2、]因式分解：（1）x4＋x2＋1；　（2）a3＋b3＋c3－3abc（1）分析：x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=(x2＋1)2－x2=(x2＋1＋x)(x2＋1－x)（2）分析：a3＋b3要配成（a＋b）3应添上两项3a2b＋3ab2解：a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b－3ab2　　=(a＋b)3＋c3－3ab(a＋b＋c)=(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c)=(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)[例2]因式分解：（1）x

3、3－11x＋20；（2）a5＋a＋1（1）分析：把中项－11x拆成－16x+5x分别与x55,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）解：x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝x(x2－16)＋5(x＋4)=x(x＋4)(x－4)＋5(x＋4)=(x＋4)(x2－4x＋5)（2）分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a＋1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5＋a＋1＝a5－a2＋a2＋a＋1=a2(a3－1)＋a2＋a＋1=a2(a－1)(a2＋a＋1)＋a2＋a＋1=(a2＋a＋1)(a3－a2＋1)2、待定系数法[例3]因式分解2x2＋3xy

4、－9y2＋14x－3y＋20解：∵2x2＋3xy－9y2=(2x－3y)(x＋3y),故用待定系数法，可设2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋a)(x＋3y＋b)，其中a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项的系数，得　　解得∴2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋4)(x＋3y＋5)[另解]原式=2x2＋(3y＋14)x－(9y2＋3y－20)，这是关于x的二次三项式　常数项可分解为－(3y－4)(3y＋5),用待定系数法，可设2x2＋(3y＋14)x－(9y2＋3y－20)=[mx－(3y－4)][nx＋(3y＋5)]比较左

5、、右两边的x2和x项的系数，得m=2,n=1∴2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋4)(x＋3y＋5)三、重点定理1、余式定理：整系数5多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。当一个多项式f(x)除以(x–a)时，所得的余数等于f(a)。例如：当f(x)=x^2+x+2除以(x–1)时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。2、因式定理：即为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。四、填空题1、两个小朋友的年龄

6、分别为a和b，已知a2＋ab=99，则a=，b=。2、计算：(x＋6)2(x－6)2=(x2－36)2。3、若x＋y=4，x2＋y2=10，则(x－y)2=。4、分解因式：a2－b2＋4a＋2b＋3=。5、分解因式：4x3－31x＋15=。6、分解因式：x4＋1987x2＋1986x＋1987=。五、选择题7、x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz因式分解后的结果是（）。（A）(y－z)(x＋y)(x－z)（B）(y－z)(x－y)(x＋z)（C）(y＋z)(x－y)(x＋z)（D）(y＋z)(x＋y)(x－z)8、已知724－1可被40至50之间的两个整数

7、整除，则这两个整数是（）。5（A）41，48（B）45，47（C）43，48（D）41，479、n为某一自然数，代入代数式n3－n中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是（）。（A）388944（B）388945（C）388954（D）388948六、将下列各式分解因式10、x4＋x2y2＋y4　11、x4＋412、x4－23x2y2＋y413、x3＋4x2－914、x3－41x＋3015、x3＋5x2－1816、x3＋3x2y＋3xy2＋2y317、x3－3x2＋3x＋718、x3