专题四 因式分解与方程竞赛

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1、专题四因式分解与方程一、基本知识和方法1.因式分解将一个多项式写成一个或几个多项式相乘的形式，称为因式分解。习惯上，我们要求因式分解的结果中的多项式为既约多项式。既约多项式也称为不可约多项式，不能分解为次数更低的多项式的乘积。如果一个多项式能够分解为次数更低的多项式的乘积，那么这个多项式称为可约多项式这里忽略系数含有公因子的整系数多项式。习惯上，这类多项式的因式分解要求提取系数的公因数。。即约多项式的判定依赖于多项式所在的数集。在较小的数集上既约的多项式，在较大的数集上可能是可约的。例如，多项式在整数上是既约的，但是在实数上可以分解为；多项式在整数与实数上都是既约的，但是在复数上可以

2、分解为。有理系数多项式可以通过提取适当的有理数转化为整系数多项式。在有理数上分解因式，本质上与在整数上分解因式是一样的。在上一节，我们提到了多项式在运算上与整数的相似之处。多项式的因式分解与整数的质因数分解也是非常相似的。多项式中既约多项式的地位与整数中质数的地位是相似的，多项式的因式分解与整数的质因数分解也非常相似。更进一步，整数的质因数分解是唯一的；类似地，在相差一个数的倍数的意义下，多项式的因式分解也是唯一的。上述事实被称为因式分解唯一定理。利用这一定理，我们可以处理一些不太容易处理的问题。考虑多项式的因式分解。先利用立方差公式，然后利用平方差公式，可得：但是如果先利用平方差公

3、式，然后利用立方差与立方和公式，可得：为什么两种方式分解出来的结果不一样呢？如果掌握了因式分解唯一定理，我们就可以确信：，多项式乘法显然可以验证这一等式，我们也可以通过“拆添项”的技巧来达到同样的目标：下面我们来看一个更复杂的例子，考虑多项式的因式分解。一方面，我们有：另一方面，我们还可以得出：又一次地，我们得出了两个不同的结果。不过根据前面的知识与经验，我们可以确信，，利用多项式的除法，我们可以算出：与，这样我们最终殊途同归：。这是年全国数学联赛的一道赛题，后来又被一位教授用作对研究生的考题《因式分解技巧》页，单墫，华东师范大学出版社。。得出最后的结果，一方面需要因式分解唯一定理这

4、一知识，另一方面还需要证明多项式是既约的可以利用爱森斯坦（Eisenstein）判别法来证明这一多项式是既约多项式；另外，这一多项式是分圆多项式，而分圆多项式在有理数范围内都是既约的。，这是不太容易的。因式分解的理论就介绍到这里，下面我们来重点介绍因式分解的方法。除了在中学课本中介绍的方法之外，因式分解有一个非常重要的方法——十字相乘法；其中，又以含有字母系数的十字相乘法最易被忽视，而这一方法在初等数学问题中有非常广泛与重要的应用。整数系数的二次三项式的十字相乘，在求解一元二次方程中使用频率非常高，这里我们就不赘述了。下面，我们从二元二次六项式开始。考虑多项式的因式分解，基本的方法分

5、为三个步骤：首先选取主元，将多项式整理为关于降幂排列的形式：，然后分解“常数项”：，最后利用十字相乘进行分解，得：，即。这一方法同样适用于三元齐二次多项式。例如：。首先关于降幂排列：，然后分解“常数项”：，最后十字相乘：。即使多项式的次数超过二次，但是只要有一个字母的最高次数恰好为二次，这一方法就很有可能成功。下面我们再来看两个较复杂的例子。考虑多项式的因式分解。这个三元多项式并不是齐二次的，但是其中每一个字母的次数都不超过二次，因此可以选择作为主元进行降幂排列，然后分解：再看一个例子：。这是一个更复杂的四元四次多项式，但是将其中的与看作是字母系数，将这个多项式整理为关于与的齐二次多

6、项式，十字相乘的方法仍然奏效：1.因式定理因式分解与方程有着非常紧密的联系。利用因式分解来解一元二次方程是使用频率非常高的解法。反过来，利用方程也可以帮助因式分解。事实上，我们有：因式定理：设是一个多项式，是方程的一个解，那么多项式有因式。下面，我们用两种方法来证明这一定理。设，其中，都是预先给定的数，则。因为，所以根据公式，对于每一个，，即，因此，即有因式。我们用多项式的带余除法给出另一种证明。设多项式除以的商式为，余式为，即，则多项式的次数低于除式的次数，即实际上是一个数，设为。因此，在上式中代入，得，因此有，而，所以，即有因式。根据这一证明，我们可以得到因式定理的一个推广：余数

7、定理多项式除以所得的余数等于。当我们需要计算一元多项式中，一个多项式除以一个一次多项式的余式时，余数定理提供了可能更为快捷的计算方法。因式定理用于多项式的因式分解，有两个比较重要的应用：一个是进行高次多项式——特别是三次多项式——的因式分解，另一个是对称多项式的因式分解。下面我们通过几个例子，主要介绍利用因式定理因式分解一元三次方程。多项式在整数范围内是既约的，但是在实数范围内可以分解。一种方式是利用因式定理，先求解一元二次方程的两根分别为，，因此；另一种