专题四：函数与方程

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1、专题四：函数与方程1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数尹=/(x)(XGD),把使/(x)=0的实数兀叫做函数尹=/(兀)(XED)的零点.(2)儿个等价关系方程.几丫)=0有实数根o函数y=J{x)的图象与X轴有交点o函数”=心)有零点•(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=/(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并H冇/(讪方)<0,那么，函数y=J{x)在区间仗」内有零点，即存在cG(a,b),使得心)=0,这个c也就是方程心)=()的根.2.二次函数y=ax2+bx+c

2、(a>0)^图象与零点的关系3.二分法⑴定义：对丁•在区间［a,b］上连续不断n.f(a)-f(b)<0的函数>=/(x),通过不断地把函数.心)的零点所在的区间•分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)给定精确度£,用二分法求函数几工)零点近似值的步骤如下：①确定区间S，切，验证人。)：/(历v(),给定精确度&②求区间(a,b)的中点c；③计算.")；(i)若./(c)=0,则c就是函数的零点;(ii)若几0呎c)v0,则令b=c(此时零点xoW(a,c))；(ii

3、i)若压)呎b)vO,则令a=c{此时零点x()W(c,b))・④判断是否达到精确度£：即若

4、Q—冰£,则得到零点近似值Q(或b)；否则重复②③④.4.解题方法法与技巧：①.函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程J(x)=0.0.研究方程7U)=g(x)的解，实质就是研究G(x)=./(x)-g(x)的零点.3・转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.④失误与防范1.函数/(X)的零点是一个实数，是方程

5、/(兀)=0的根，也是函数尹=/(x)的图象与X轴交点的横坐标.2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.【强化训练1】1.判断下血结论是否正确(请在括号中打“丁”或“X”)(1)函数的零点就是函数的图象少x轴的交点.()(2)函数，=/(力在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断)，则/(a)：@)vO.()(3)二次函数y=ax2+bx+c(a^)在沪一4饥V)时没有零点.()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的

6、近似值.()(5)函数y=2sinx—1的零点有无数多个.()(6)函数J(x)=kx+在[1,2]上冇零点，则一1

7、log0.5^

8、-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.43.(2013-重庆)若a

9、间中，函数,/«=er+4x-3的零点所在的区间为()A.(-土,0)B.(0,

10、)C.(

11、,

12、)D.(

13、,扌)5.(2012-湖北)函数A-v)=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A.4B.5C.6D.76.若定义在R上的偶函数沧)满足/(x+2)=/W，且当xE[0,l]吋，./(x)=x,贝U函数p=/(x)Tog3kl的零点个数是()A.多于4个B.4个C.3个D.2个7.已知定义在R上的函数y=f(x)满足y(x+2)=/(x),当一W1时，f(x)=x,若函数g(x)=/(x)—log

14、fl

15、x

16、至少有5个零点，则a的取值范围是()A.(1,5)B.(0,

17、)U[5,+8)C.(0,

18、]U[5,+~)D.[

19、,1]U(1,5]8.已知两数./U)=lnx—x+2有一个零点所在的区间为伙，A+1)伙WN),贝I"的值为•29.设函数yU)=/+；(xH0).当Q>1时，方程f(x)=f(a)的实根个数为.1.若关于x的方程2lx+2xa+a+l=0有实根，实数。的取值范围为•1.E2知函数/(兀)=—x2+2ex+m—>g(x)=x+—(x>0).•X*(1)若歹=&(力一加有零点，求m的取

20、值范围；(2)确定加的取值范围，使得g(x)—/(x)=0冇两个相异实根.【强化训练2】1.方程log共+x—3=0的解所在的区间是2.A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)方程甘一2.y

21、=/+](qo)的解的个数是D.(3,4)A.1B.2C.3D.43-4.A•a