一元一次不等式和它的解法

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1、一元一次不等式和它的解法　　例1判断下列各式是不是一元一次不等式？　　　　分析：判断一个式子是不是一元一次不等式，看这个式子是不是只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的不等式．　　解：(1)是一元一次不等式；　　(3)是一元一次不等式；　　(2)和(4)不是一元一次不等式．　　例2　　　　分析：两题都可以按通常的三步骤解．对于(1)题也可以根据两边都有分母为4的项的特点，可以先移项，合并分子的同类项后，再去分母．对于(2)也是可以先去中括号，得到5(x-3)＞5后，再两边除以5，得到x-3＞1．　　答案：

2、　　　　说明：去分母时分数线相当于括号，同时不要漏乘不含分母的项．最关键要处理好乘或除一个数时不等号的方向问题．　　例3　　　　　　分析：不等式中含有分母，应先根据不等式的同解原理2去掉分母，再作其他变形，在去分母时，不要漏乘没有分母的“项”．　　解：去分母，得24-2(x-1)≥16+3(x+1)　　去括号，得24-2x+2≥16+3x+3　　移项，得-2x-3x≥16+3-24-2　　合并同类项，得-5x≥-7　　把系数化为1，得　　　这个不等式的解集在数轴上的表示如下图所示：　　例4解答题　　　　(2)

3、求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解．　　分析：对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”，用符号表示即为“≥”；(2)小题非负整数，即指正数或零中的整数，所以此题的不等式的解必须是正整数或零．在求解过程中注意正确运用不等式性质．　　解：　　　　∴120-8x≥84-3(4x+1)　　　　(2)∵10(x+4)+x≤84　　∴10x+40+x≤84　　∴11x≤44　　∴x≤4　　因为不大于4的非负整数有0，1，2，3，4五个，所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4，3，2，1，0．　

4、　例5解关于x的不等式　　(1)ax+2≤bx-1(2)m(m-x)＞n(n-x)　　分析：解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的，只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论，这就增加了题目的难度．此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力：它不但要知道什么时候该进行分类讨论，而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明)．　　解：(1)∵ax+2≤bx-1　　∴ax-bx≤-1-2　　即(a-b)x≤-3　　此时要依x字母系数的不同取值，分别求出不等式的解的形式．　　　　　　

5、　即(n-m)x＞n2-m2　　当m＞n时，n-m＜0，∴x＜n+m；　　当m＜n时，n-m＞0，∴x＞n+m；　　当m=n时，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式无解．这是因为此时无论x取任何值时，不等式两边的值都为零，只能是相等的，所以不等式不成立．　　例6解关于x的不等式　　3(a+1)x+3a≥2ax+3．　　分析：由于x是未知数，所以把a看作已知数，又由于a可以是任意有理数，所以在应用同解原理时，要区别情况，分别处理．　　解：去括号，得　　3ax+3x+3a≥2ax+3　　移项，得　　3

6、ax+3x-2ax≥3-3a　　合并同类项，得　　(a+3)x≥3-3a　　　　　　　(3)当a+3=0，即a=-3，得0·x≥12　　这个不等式无解．　　说明：在处理字母系数的不等式时，首先要弄清哪一个字母是未知数，而把其它字母看作已知数，在运用同解原理把未知数的系数化为1时，应作合理的分类，逐一讨论．　　例7m为何值时，关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正数．　　分析：根据题意，应先把m当作已知数解方程，然后根据解的条件列出关于m的不等式，再解这个不等式求出m的值或范围．注

7、意：“非正数”是小于或等于零的数．　　解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x　　可解得8x=20+17m　　　　已知方程的解是非正数，所以　　　　例8若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非负数，(2)负数，试确定k的取值范围．　　分析：要确定k的范围，应将k作为已知数看待，按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之)．这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式，求出k的取值范围．这里要强调的是本题不是直接去解不等式，而是依已知条件获得不等式

8、，属于不等式的应用．　　解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3　　可解得-2x=8k-4　　即x=2(1-2k)　　(1)已知方程的解是非负数，所以　　　　(2)已知方程的解是负数，所以　　　　例9当x在什么范围内取值时，代数式-3x+5的值：　　(1)是负数(2)大于-4　　(3)小于-2x+3(4)不大于4x-9　　分析：解题的关键是把“是负数”，“大于”，“小于”，“不大于”等文字语言