2017-2018学年人教a版选修1-2《2.2直接证明与间接证明》练习含答案

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第二章2.22.2.1A级　基础巩固一、选择题1．关于综合法和分析法的说法错误的是(　C　)A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法[解析]　综合法是由因导果，分析法是执果索因，故选项C错误．2．“对任意角θ，都有cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”应用了(　B　)A．分析法B．综合法C．综合法与分析法结合使用D．间接证法[解析]　证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式，因此是综合法．3．若ab＋C．b＋>a＋D．<[解析]　∵a，又∵b>a，∴b＋>a＋.4．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为(　B　)A．p≥qB．p≤qC．p>qD．不确定 [解析]　q＝≥＝＋＝p.5．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(　A　)A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A[解析]　≥≥，又函数f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f()≤f()≤f()．二、填空题6．如果a＋b>a＋b，则实数a、b应满足的条件是__a≠b且a≥0，b≥0__.[解析]　a＋b>a＋b⇔a＋b－a－b>0⇔a(－)＋b(－)>0⇔(a－b)(－)>0⇔(＋)(－)2>0只需a≠b且a、b都不小于零即可．7．在算式30－△＝4×□中的△，□内分别填入两个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△，□)应为__(10,5)__.[解析]　设(△，□)为(a，b)，则30－a＝4b，即a＋4b＝30，＋＝(＋)·＝≥＝，当且仅当＝，即a＝2b时等号成立．又有a＋4b＝30，可得a＝10，b＝5.三、解答题8．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.[解析]　解法一(分析法)： 要证lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc，即要证lg(··)>lg(abc)，只需证··>abc.∵≥>0，≥>0，≥>0，∴··≥abc>0.(*)又∵a、b、c是不全相等的正数，∴(*)式中等号不成立，∴原不等式成立．解法二(综合法)：∵a、b、c∈R*，∴≥>0，≥>0，·≥>0.又∵a、b、c是不全相等的正数，∴··>abc.∴lg(··)>lg(abc)．∴lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.B级　素养提升一、选择题1．设0＝a，∴a0”是“△ABC为锐角三角形”的(　B　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分与不必要条件[解析]　∵·>0，∴∠A为锐角，但∠B、∠C的大小不确定，故选B．3．在R上定义运算⊙︰a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　B　)A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1＋∞)D．(－1,2)[解析]　x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0⇒x2＋x－2<0⇒－2bB．ab>0且a>bC．ab<0且a0且a>b或ab<0且a0时，有<，即b，即b>a.二、填空题5．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为__m>n__.[解析]　因为(＋)2＝a＋b＋2>a＋b>0，所以>，所以m>n.6．已知sinx＝，x∈(，)，则tan(x－)＝__－3__.[解析]　∵sinx＝，x∈(，)，∴cosx＝－， ∴tanx＝－，∴tan(x－)＝＝－3.7．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝　－　.[解析]　条件变为sinα＋sinβ＝－sinγ，cosα＋cosβ＝－cosγ，两式平方相加可推得结论cos(α－β)＝－.三、解答题8．已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.[分析]　这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结论特点和条件a＋b＋c＝1的合理应用．可用综合法和分析法两种方法证明．[解析]　解法一：(综合法)(－1)(－1)(－1)＝(－1)(－1)(－1)＝··＝≥＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．解法二：(分析法)要证(－1)(－1)(－1)≥8成立，只需证··≥8成立．∵a＋b＋c＝1，∴只需证··≥8成立，即··≥8.只需证··≥··≥8成立．而··≥8显然成立，∴(－1)(－1)(－1)≥8成立．C级　能力提高1．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是__①③⑤__(写出所有正确命题的编号).①ab≤1　②＋≤　③a2＋b2≥2　④a3＋b3≥3　⑤＋≥2 [解析]　本题考查了不等式的有关性质和推理论证能力．令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2⇒ab≤1，命题①正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，命题③正确；＋＝＝≥2，命题⑤正确.2．已知：a≥－，b≥－，a＋b＝1.求证：＋≤2.下面是证明过程：要证＋≤2，只需证2(a＋b)＋2＋2·≤8.∵a＋b＝1，∴即证·≤2，只需证(2a＋1)(2b＋1)≤4，即证ab≤.∵≤，∴ab≤2＝.∵ab≤成立，因此＋≤2成立．试分析找出上述证明过程中的错误，并给予订正．[解析]　上述解法中，对ab≤的证明是错误的．因为≤成立的条件是a≥0，b≥0，而原题条件是a≥－，b≥－，不满足上述条件．正确解答为：在错解中，得·≤2.∵a≥－，b≥－，∴2a＋1≥0,2b＋1≥0.∴·≤＝＝2，即·≤2成立，因此原不等式成立．