1、2.2直接证明与间接证明（2）A级 基础巩固一、选择题1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( C )A．有两个内角是直角B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角D．没有一个内角是直角[解析] “最多只有一个”的含义是“有且仅有一个或者没有”，因此它的反面应是“至少有两个”．2．如果两个数之和为正数，则这两个数( D )A．一个是正数，一个是负数B．都是正数C．不可能有负数D．至少有一个是正数[解析] 两个数的和为正数，可以是一正一负，也可以是一正一为0，还可以是两正，但不可能是两负．3．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的正确反设为( D )A．自然数a
2、、b、c都是奇数B．自然数a、b、c都是偶数C．自然数a、b、c中至少有两个偶数D．自然数a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数[解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．4．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( B )A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3C．＋＋≥2D．abc(a＋b＋c)≤[解析] ∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋
3、2≥3.5．用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设( B )A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°[解析] 三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．6．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( A )A．a＋>b＋B．>C．a＋>b＋D．>[解析] 可通过举反例说明B、C、D均是错误的，或直接论证A选项正确．二、填空题7．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于 .[解析] 假设a、b、c都小于
5、合用反证法证明的是( C )A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x、y∈R，且x＋y>2，求证：x、y中至少有一个大于1[解析] A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的( C )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[解析] 若P>0
6、，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b0，Q>0，R>0.3．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( A )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[解析] 至少有一个实根的否定为
7、：没有实根．4．下面的四个不等式：①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤；③＋≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有( C )A．1个B．2个C．3个D．4个[解析] ∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，a(1－a)－＝－a2＋a－＝－(a－2)≤0，(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2只有当＞0时，才有＋≥2成立，∴应选C．二、填空
