2008年高中数学竞赛二试试题答案(b卷)

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1、2008年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）试题参考答案说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．题一图一、（本题满分50分）如题一图，是圆内接四边形．与的交点为，是弧上一点，连接并延长交于点，点分别在，的延长线上，满足，，求证：四点共圆．[证]由已知条件知．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　又　　　　　，所以　　　　，答一图从而四点共圆，此圆记为．同理可证：四点共圆，此圆记为．点在圆，内．延长与圆相交于点，则　　　　

2、，故四点共圆．所以在的外接圆上，故在上．再用相交弦定理：　　　，故四点共圆．二、（本题满分50分）求满足下列关系式组的正整数解组的个数．[解]令，由条件知，方程化为，即．（1）因，故，从而．设．因此（1）化为．（2）下分为奇偶讨论，（ⅰ）当为奇数时，由（2）知为奇数．令，，代入（2）得．（3）（3）式明显无整数解．故当为奇数时，原方程无正整数解．（ⅱ）当为偶数时，设，由方程（2）知也为偶数．从而可设，代入（2）化简得．（4）由（4）式有，故，从而可设，则（4）可化为，．　　　　　　　　　　　　（5）因为整数，故．又，因此，得，．因此，对给定的，解的个数恰是满足条件的的正因数的个数

3、．因不是完全平方数，从而为的正因数的个数的一半．即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由题设条件，．而25以内有质数9个：2，3，5，7，11，13，17，19，23．将25以内的数分为以下八组：：，，，，，，，，从而易知，，，，，，，，将以上数相加，共131个．因此解的个数共131．　　　三、（本题满分50分）设，．证明：当且仅当时，存在数列满足以下条件：（ⅰ），；（ⅱ）存在；（ⅲ），．[证]必要性：假设存在满足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为，，其中．将上式从第1项加到第项，并注意到得．由（ⅱ）可设，将上式取极限得，因此．充分性：假设．定

4、义多项式函数如下：，，则在[0,1]上是递增函数，且，．因此方程在[0,1]内有唯一的根，且，即．下取数列为，，则明显地满足题设条件（ⅰ），且．因，故，因此，即的极限存在，满足（ⅱ）．最后验证满足（ⅲ），因，即，从而．综上，已证得存在数列满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）．