2012年普通高等学校招生全国统一考试领航卷（四）数 学（理科）

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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试领航卷（四）数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）复数（是虚数单位）在复平面内

2、的对应点位于（A）第一象限　（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）函数是（A）最小正周期为的偶函数（B）最小正周期为的偶函数（C）最小正周期为的奇函数（D）最小正周期为的奇函数（3）的展开式中，常数项等于15，则实数（A）1　（B）（C）2（D）2（4）对任意非零实数、，规定的运算原理如图所示，则（A）（B）（C）1（D）（5）已知、是不共线的向量，，，则A、B、C三点共线的充要条件是：（A）　（B）（C）（D）（6）一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积为（A）48cm（B）80cm（C）100cm（D）1

3、44cm（7）与直线和圆都相切且半径最小的圆的方程是（A）（B）（C）（D）（8）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（A）10　（B）20（C）25（D）30（9）已知点满足约束条件，若函数(且)图象通过的定点是，则的最大值为（A）1（B）（C）2（D）4（10）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点P，若（是坐标原点），则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）（11）电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.80，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60，

4、则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是（A）0.75（B）0.60（C）0.48（D）0.20（12）已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）正四棱椎PABCD的顶点都在同一个球面上，若底面ABCD的外接圆是球的大圆，异面直线PA与BC所成的角是；（14）；（15）过抛物线准线上任一点作抛物线的两条切

5、线，切点分别为、，若是坐标原点，则；（16）已知函数存在零点，则实数的取值范围是．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知△的内角、、所对的边分别为、、，且．（I）若，△的面积，求、的值;（II）若，，求的值．（18）（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，为线段上的动点．（I）求证：；（II）若四面体的体积为，求二面角的余弦值．（19）（本小题满分12分）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I）估计这次测试数学成绩的平均分；

6、（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望．（20）（本小题满分12分）点M在椭圆上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．（I）若圆M与y轴相交于A、B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程；（II）已知点F（1，0），设过点F的直线l交椭圆于C、D两点，若直线l绕点F任意转动时，恒有成立，求实数的取值范围

7、．（21）（本小题满分12分）设曲线：（），表示导函数．（I）求函数的极值；（II）数列满足，．求证：数列中不存在成等差数列的三项；（III）对于曲线上的不同两点，，，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，圆心P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．

8、（I）求证：四点B、P、E、F共圆；（II）若，，求出由四点B、P、E、F所确定圆的直径．（23）（本小题满分10分）选修