2007高中数学新题型选编 .doc

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1、1、已知函数y=满足，且方程=0有n个实根x1,x2,…xn,则x1+x2+…+xn=3n。解：由可得y=的图像图像关于x=3对称。当n为偶数时，方程=0有n个实根x1,x2,…xn两两成对出现，且成对两根之和为6，所以x1+x2+…+xn=6×=3n当n为奇数时，方程=0有n个实根中必有一根为3，其余n-1个根两两成对出现，且成对两根之和为6，所以x1+x2+…+xn=3+3（n-1）=3n故x1+x2+…+xn=3n。2、对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的

2、一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．则共有30种不同的染色方法。解：记凸五边形的各边分别为①、②、③、④、⑤第一步：将五边分成三组且相邻边不在同一组，则有①、②④、③⑤②、①④、③⑤③、①④、②⑤④、①③、②⑤⑤、①③、②④故共有五组第二步：将三种颜色对应三组进行全排列A=6由分步计数原理得共有5×6=30种。3、如图1，设P、Q为△ABC内的两点，且，=+则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为(B)A.B.C.D.图1图2解：如图2设,则由平行四边形法则知NP∥AB，所以=，同理可得。故即选

3、B.4、设x>1，S=min｛logx2，log2（4x3）｝则S的最大值为3。解：由题设知Slogx2，Slog2（4x3），且S>0则Slog2（4x3）=2+3log2x=2+2+，于是S2-2S-30得-1S3当x=时取等号。5、在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，C点在AB上且OC是∠AOB的角平分线,则=（-，）。解：由题设知=（0，1），=（-3，4）OC是∠AOB的角平分线可设=（）=+又C点在AB上所以+=1解得=故=+=（-，）6、在十进制中，若一个至

4、少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（D）（A）1001（B）1010（C）1011（D）1013解：当正整数为两位数时，有个当正整数为三位数时，有个………当正整数为十位数时，有个由分类计数原理得共有正整数++…+=210--=1013故选D。7、已知,设,记(1)求证：tan=2tan(2)求的表达式;(3)定义正数数列｛an｝;a1=2，=2（n）。试求数列的通项公式。解：（1）由，得sin=3sin，即s

5、incos=2cossin故tan=2tan（2）由tan=2tan得即。解得y=故=（3）因为=2=2，所以=+1即-2=（-2）因此{-2}是首项为2，公比为的等比数列。所以-2=2故an=。8、平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C满足、（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹与椭圆交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于，求椭圆实轴长的取值范围.解：（1）设即点C的轨迹方程为x+y=1。（2）得：（

6、a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0设M（x1,y1）,N（x2,y2），则“x1+x2=，x1x2=因为以MN为直径的圆过原点为，所以=0，即x1x2+y1y2=0∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+2x1x2=1-+2=0即a2+b2-2a2b2=0∴（3）∴椭圆实轴长的取值范围是（0,。