高中数学新题型选编.pdf

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1、高中数学新题型选编（共70个题）（一）1、（Ⅰ）已知函数：f(x)2n1(xna)(xa)n,(x[0,),nN)求函数f(x)的最小值;anbnab（Ⅱ）证明:()n(a0,b0,nN)；22anananLanaaaLa（Ⅲ）定理:若a,a,aLa均为正数,则有123k(123k)n成立123kkk(其中k2,kN,k为常数)．请你构造一个函数g(x)，证明：anananLanaaaLa当a,a,a,L,a,a均为正数时，123k1(123k1)n．123kk

2、1k1k1解：（Ⅰ）令f'(x)2n1nxn1n(ax)n10得(2x)n1(ax)n12xaxxa…2分当0xa时，2xxaf'(x)0故f(x)在[0,a]上递减．当xa,f'(x)0故f(x)在(a,)上递增．所以，当xa时，f(x)的最小值为f(a)0.….4分（Ⅱ）由b0，有f(b)f(a)0即f(b)2n1(anbn)(ab)n0anbnab故()n(a0,b0,nN)．………………………………………5分22anananLanaa

3、aLa（Ⅲ）证明:要证：123k1(123k1)nk1k1只要证：(k1)n1(anananLan)(aaaLa)n123k1123k1设g(x)(k1)n1(anananLxn)(aaaLx)n…………………7分123123则g'(x)(k1)n1nxn1n(aaLax)n112kaaLa令g'(x)0得x12k…………………………………………………….8分kaaLa当0x12k时，g'(x)n[(kxx]n1n(aaL

4、ax)n1k12kn(aaLax)n1n(aaLax)n1012k12kaaLaaaLa故g(x)在[0,12k]上递减，类似地可证g(x)在(12k,)递增kkaaLaaaLa所以当x12k时，g(x)的最小值为g(12k)………………10分kkaaLaaaLaaaLa而g(12k)(k1)n1[ananLan(12k)n](aaLa12k)nk12kk12kk(k1)n1=[kn(ananLan)(aaKa)n(k1

5、)(aaLa)n]kn12k12k12k(k1)n1(k1)n1=[kn(ananLan)k(aaLa)n]=[kn1(ananLan)(aaLa)n]kn12k12kkn112k12kaaLa由定理知:kn1(ananLan)(aaLa)n0故g(12k)012k12kkaaLaQa[0,)g(a)g(12k)0k1k1k故(k1)n1(anananLan)(aaaLa)n123k1123k1anananLana

6、aaLa即:123k1(123k1)n.…………………………..14分k1k12、用类比推理的方法填表等差数列a中等比数列b中nna＝adbb•q3232aaaab•bb•b34253425aaaaa5a123453答案：b•b•b•b•bb51234533、10．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于A．nB．n+1C．n-1D．n2答案：D4、若f(n)为n21(nN*)的各位数字之和，如：1421197，

7、19717，则f(14)17;记f(n)f(n),f(n)f(f(n)),,f(n)f(f(n)),kN*,则f(8)____121k1k2008答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。aaa2a2aaaaaaaa（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若SA面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小；（3）求点D到面SEC的距离。（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）………………3分证明：SAAB,SA

8、AD,且AB、AD是面ABCD内的交线SA底面ABCD……………………5分S（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，则GF//EA,GF=EA