九年级下人教新课标28.1正弦和余弦1教学资料

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1、正弦和余弦【学习目标】1．了解正弦、余弦的概念的意义(用直角三角形中直角边与斜边的比表示)，知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实．2．熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦值，并会根据这些数值说出对应的特殊角的度数．3．了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系．4．会查“正弦和余弦表”，即由已知锐角求对应的正弦、余弦值，已知正弦、余弦值求对应的锐角(或运用计算器)．5．会用上述知识解决一些求三角形中未知元素的简单问题．【主体知识归纳】1．如图6—1，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，∠

2、A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，那么∠A的正弦sin＝，∠A的余弦cos＝．2．特殊角的正弦、余弦值．三角函数30°45°60°sincosα3．任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即sinA＝cos（90°－A），cosA＝sin（90°－A）．4．三角函数表三角函数值的变化规律是使用三角函数表的依据．当角度在0°~90°变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．【基础知识讲解】1．正弦、余弦的概念是本章的起点，同时又是重点、

3、关键．这是本章知识的基础．在直角三角形ABC中，当一个锐角(∠A）取固定值时，它的直角边与斜边的比值也是一个固定值．，cos＝．实际上它们是一个函数关系，它的自变量的取值范围是大于0°且小于90°的所有角度．在直角三角形中，由于斜边最长，所以函数值的范围是大于0且小于1的所有实数．2．在查“正弦和余弦表”时，需要明确以下四点：(1)这份表的作用是：求锐角的正弦、余弦值，或由锐角的正弦、余弦值，求这个锐角；(2)这份表中，角精确到1′，正弦、余弦值具有四个有效数字；(3)凡查表所得的值，在教科书中习惯用等号“＝”，而不用约等号“≈”；根据

4、查表所得的值进行近似计算，结果经四舍五入后，一般用约等号“≈”来表示；(4)通过查表要知道：sin0°＝0，sin90°＝1，cos0°＝1，cos90°＝0．在使用余弦表中的修正值时，如果角度增加(1′～3′），相应的余弦值要减小一些；如果角度减小(1′～3′），相应的余弦值要增加．【例题精讲】例1：如图6—2，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，且AC＝4，CD＝3，求∠B的正弦值和余弦值．剖析：任意一个锐角的三角函数值，一般是利用一个直角三角形中相应的边的比值表示，因此要求∠B的正弦、余弦值，首先要观察∠B是否在一个直

5、角三角形中，边的比值可否求出．解：∵AC⊥BC，CＤ⊥AB，∴△ACD∽△ABC．∴∠ACD＝∠B．又∵AC＝4，CＤ＝3，由勾股定理，得AD＝．∴sinB＝sin∠ACD＝，cosB＝cos∠ACD＝．例2：如图6—3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，写出等于∠A的正弦的线段比．剖析：根据三角函数定义知，在直角三角形中，角的正弦值等于对边比斜边，余弦值等于邻边比斜边．这里的前提条件一定要注意，是在直角三角形中．错解：sin＝．正解：sin＝．说明：错解之一是所答线段比，因为它们不在同一个直角三角形中，错解之二是所答线段

6、比不全，不全的原因是在三种情况下形成的：一是∠A是Rt△ABC和Rt△ACD的公共角，应有两个比，二是∠A＝∠BCD，则sin＝sin，三是∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°，cosACD＝sinA＝，cosB＝sin∠BCD＝．只不过第三种情况的比包含在前两种情况之中了．例3:如图6—4，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求cos∠A．剖析：我们所求的任意一个锐角的三角函数值，都是根据三角函数定义，利用一个直角三角形中相应边的比值来表示．求锐角A的三角函数值时，要观察∠A是否存在于一个直角三角形中，如果题中没有给出这样的

7、条件，我们要通过添加辅助线，构造出∠A所在的直角三角形．解：作△ABC的高AD、BE．∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝BC＝×6＝3．在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝4．∵S△ABC＝BC·AD＝AC·BE，∴BC·AD＝AC·BE，即6×4＝5×BE．∴BE＝．在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝．∴cos＝．说明：任意锐角的正弦、余弦值都是存在的，因此在求某一个锐角的正弦值、余弦值时，可把该锐角放到某一直角三角形中（如本例通过添加辅助线，构造出直角三角形），也可以利用某直角三角形中的一个和它相等的角替代（如例1中，求∠

8、B的三角函数值可转化为求∠ACD的三角函数值）．例4:计算：cos245°–＋cos230°＋sin245°–sin230°．剖析：本题主要考查特殊角的三角函数值及数的运算，所以做题时，一是要牢记特殊角的三