高二数学矩阵乘法的性质

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1、§2.4矩阵乘法的性质教学目标:一、知识与技能：认识单位方阵、零矩阵、纯量矩阵、零变换；能验证二阶方阵乘法满足结合律，不满足消去律、交换律二、方法与过程借助例题研究，引入概念，探究二阶方阵乘法满足结合律，不满足交换律与消去律。三、情感、态度与价值观培养学生积极主动探索的良好学习习惯和质疑精神，树立学好数学的自信心。教学重点:验证二阶矩阵乘法满足结合律，不满足交换律与消去律教学难点：矩阵表示变换的几何意义教学过程一、复习引入：1、定理1　设A＝，，，，是实数。则以下公式成立：（1）A（）＝（A）（2）A

2、＋A＝A（＋）（3）A（＋）＝A＋A2、定理2　可逆的线性变换具有如下性质：（1）直线仍变成直线；（2）将线段仍变成线段　（3）将平行四边形变成平行四边形3、设A，B是平面上的两个变换，将平面上每个点先用变换A变到，再用变换B将变到，则从到也是平面上的一个变换，称为A，B的复合变换，也称为B与A的乘积，记作BA。4、A＝和B＝　　BA＝＝5、变换的乘法与矩阵的乘法都不满足交换律　　即ABBA二、新课讲解例1　记A＝，S＝，其中是实数，作矩阵乘法：（1）SA；（2）AS　解：SA＝＝AS＝＝矩阵S＝与任

3、一矩阵A相乘的效果是将A的每个数乘同一个常数，S称为纯量矩阵。当＝0时，S＝乘每个矩阵都等于O，O相当于数的乘法中的0，称为零矩阵当＝1时，S＝，通常将这个矩阵记作E，它与任何一个矩阵A相乘等于A本身，E相当于数的乘法中的1，称为单位方阵单位方阵决定的线性变换E：（）到（，）满足关系式变换E将每个点都保持不动，是恒等变换，恒等变换对应于单位方阵。零矩阵对应的线性变换O：（）到（，）满足关系式将所有的点都　变到原点，这样的变换称为零变换。当而时，S＝表示以原点为中心、相似比为的位似变换。当时S表示以原点

4、为中心的中心对称变换，也是绕原点旋转平角的变换。当时，S表示的变换可以看成以原点为中心的中心对称变换与一个位似变换的合成。例2、A＝，求证：在A所表示的变换A的作用下，图形在变换前和变换后相似。证明：A＝＝　　　　　　其中B＝表示的变换是绕原点旋转角，保持图形的全等。S＝表示的变换是以原点为中心、为相似比的位似变换，保持图形的相似，A表示的变换是变换B，S的合成，保持图形的相似。例3、记A＝，B＝，求AB，BA解：AB＝＝BA＝＝指出：（1）AB与BA不相等。这说明交换律对矩阵乘法不成立。（2）两个非

5、零矩阵A，B的乘积为零。注意，在数的乘法等式中，如果，就可以从等式两边将消去，得到，这称为消去律，而在这个例子中，AB与A）都等于零，因而AB＝AO并且AO，却不能将A从两边消去得到B＝O，因此消去律对矩阵乘法不成立。例、设A＝，B＝，则A，B都不为零，但是AB＝这里的A表示的变换A：（）到（，0）是平面到轴上的投影。B表示的变换B：（）到（0，）是平面到轴上的投影。虽然两次投影都不是零变换，都有很多点没有变到原点，但如果两个变换连续作用，变换B先将整个平面变到轴上，再经过变换A的作用就全部变到原点，

6、因此AB＝O例4、对于3个22矩阵A，B，C，验证等式（CB）A＝C（BA）证明：设P是平面上任意一个点A（P）＝P1，B（P1）＝P2，C（P2）＝P3（CB）（P1）＝C（B（P1））＝C（P2）＝P3（CB）A（P）＝（CB）（P1）＝P3另一方面（BA）（P）＝B（A（P））＝B（P1）＝P2C（BA）（P）＝C（P2）＝P3可见变换（CB）A与变换C（BA）将平面上每个点P都变到同一个点P3，这两个变换相等。三、课堂练习1、设A＝，B＝，C＝，求A（BC）和(AB)C,并判断它们是否满足结合

7、律，2、设A＝，求A3、已知△AOB的三个顶点坐标分别是A（1，），O（0,0），B（3,0），△AOB在矩阵对应的变换作用下得到△AOB，求∠AOB的大小四、小结1、矩阵S＝称为纯量矩阵。S＝称为零矩阵，S＝，称为单位方阵2、交换律，消去律对矩阵乘法不成立。3、满足结合律2、四、课后作业：课本45页　　习题4教学反思：