空间向量的正交分解及其坐标表示、3.1.5 空间向量运算的坐标表示-2017-2018学年高二数学人教版（选修2-1）

《空间向量的正交分解及其坐标表示、3.1.5 空间向量运算的坐标表示-2017-2018学年高二数学人教版（选修2-1）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5空间向量运算的坐标表示1．空间向量基本定理类似于平面向量基本定理，有空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得__________．其中，叫做空间的一个基底，都叫做基向量．注：（1）空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；（2）由于与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是．2．空间向量基本定理的推论设，，，是不共面的四点，则对于空间任一点，都存在唯一的有序实数组，使得，当且仅当____

2、______时，，，，四点共面．3．单位正交基底设为有公共起点O的三个两两__________的单位向量，我们称它们为单位正交基底．用来表示．4．空间向量的坐标表示以的公共起点O为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz．那么，对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组，使得__________．我们把x，y，z称作向量在单位正交基底下的坐标，记作__________．注：向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响．5．单位正交基底之间的数量积运算（1）

3、因为单位正交基底互相垂直，所以__________．19（2）因为为单位向量，所以．6．空间向量的坐标运算空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示都可以类似平面向量的坐标运算得到．设，，则（1），，，；（2），，__________，；（3）在空间直角坐标系中，已知点，，则A，B两点间的距离．注：进行向量运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算，一般按照右手系建系．K知识参考答案：1．2．3．垂直4．5．6．K—重点空间向量基本定理及其意义，正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示K—难点利用向量的坐标运算解决垂直问题、平行问题及空间角的求解1

4、9K—易错对基底概念理解不清、向量分解不彻底，混淆两向量平行与两向量同向基底的判断判断给出的向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断向量是否共面，首先应考虑向量是否是零向量，其次判断非零向量是否共面．已知是空间的一个基底，且，，，试判断能否作为空间的一个基底．【答案】能作为空间的一个基底．【解析】假设共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得成立，所以能作为空间的一个基底．【名师点睛】如果从正面难以入手判断向量是否共面，可假设向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则向量共面；若方程组无解，则向量不共面．空间向量基本定理的应用如图，四棱锥的

5、底面为矩形，平面，设，，，，分别是和的中点，则①____________；②____________；③____________(用向量表示)．【答案】①；②；③．19【解析】；；如题图，连接，则．【名师点睛】用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法的三角形法则及向量的一些代数运算，将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．空间向量的坐标运算已知O是坐标原点，点A(2，0，－2)，B(3，1，2)，C(2，－1，7)．（1）若点的坐标满足，则点的坐标为______________；（2）若点的

6、坐标满足，则点的坐标为______________．【答案】（1）；（2）．【解析】，．所以，，，即，，，所以点的坐标为．【名师点睛】由于O是坐标原点，所以点的坐标就是向量的坐标．已知点A(2，0，－1)，B(1，1，2)，C(3，－2，－3)．（1）向量与夹角的余弦值为______________；（2）若向量，且，则______________；（3）若向量与向量互相垂直，则实数______________．19【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】由题可知，，．（1）．（3）因为，，所以，解得．【名师点睛】空间向量的平行、垂直与数量积运算是高考的热点，而坐标

7、运算的关键是正确写出向量的坐标，然后套用相应的公式进行计算．应注意：当向量的起点不为原点时，需依据求向量的坐标．空间向量的坐标运算在立体几何中的应用利用空间向量的坐标运算求解立体几何问题时，关键是确定相关向量的坐标，一般有两种方法：（1）利用单位正交基底表示向量，然后对应写出坐标；（2）利用建立的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，然后利用有向线段表示坐标的方法用终点坐标减去起点坐标，可得向量坐标．如图1，已知PA垂直于正方形ABCD所成平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PAAD2．（1）求M，N两点之间的距离；（2）求证：MN⊥平面PCD；（3）