全国大学生数学建模竞赛优秀论文选之易拉罐形状和尺寸的最优设计

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1、易拉罐形状和尺寸的最优设计『摘要』本文对易拉罐的最优设计主要从节省用料的角度研究。建立模型时，在满足体积以及其它设计要求的限制下，以用料最少为目标建立最优化模型。求解模型的主要方法包括：乘子法、条件极值法以及数学软件(、)求解等。在对易拉罐形状及尺寸设计进行研究时，需要选择适当的工具，运用多次测量求平均值的方法确定出必要的数据。实际中易拉罐的设计考虑到多方面的因素，如美观、实用、生产、运输以及其自身各部分的抗压能力等。本文主要在某些设计要求下，研究用料最省的形状设计，将求解出的最优形状和尺寸与相应实测数据作对比来

2、衡量设计的合理性。当假设易拉罐的形状为正圆柱体时，主要以圆柱体高度与半径的比例关系确定易拉罐形状是否符合用料最省的最优设计。分别运用条件极值法、乘子法以及数学软件求解的方法最终确定出高度与半径的比值为4，与实际易拉罐高度与半径的比值基本符合，能够说明实际的易拉罐形状设计符合用料最省的设计原则。当假设易拉罐由正圆柱体和圆台两部分组成时，分别假设易拉罐尺寸符合不同设计要求，运用逐步改进的方法，最终求得易拉罐各项尺寸与实测数据比较吻合，说明现实中易拉罐的设计满足用料最省的要求。求解时主要运用软件和乘子法并在软件的辅助下

3、分别求得各项尺寸。最后根据对易拉罐的观察和想象，在保证易拉罐整体形状变化不大的前提下，我们提出将易拉罐上端的圆台改为球台。同样以用料最省作为其最优设计，求出新设计的易拉罐与现实中易拉罐相比大约能节省0.49%的用料。在建立易拉罐用料最省模型的基础上，对模型作出进一步推广。联系实际当中各种形状比较规则的容器，对其最优设计的一般规律作出说明。关键词：乘子法重积分条件极值法1问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的易拉罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来

4、，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是

5、它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3．设易拉罐是一回转体，上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。2问题分析在对易拉罐的形

6、状进行研究时，首先需要测量出实际中易拉罐形状的各个尺寸，然后以易拉罐用料最少作为其最优设计，对题目给出的不同简化形状进行研究。对于问题一，取一个355毫升易拉罐（可口可乐），首先分析出验证模型可能需要的数据，然后利用相应的工具对需要的数据进行多次测量取平均值确定易拉罐各项尺寸的大小。对于问题二，题目假设易拉罐的形状为一正圆柱体，但并没有对各部分的壁厚做出说明，在求解的过程中可分易拉罐各面厚度相同和不同的情况进行求解。最终确定出高度与半径的比值关系，并与实际测量数据进行分析比较，判断易拉罐设计的合理性。对于问题三，

7、结合第二问得出的结论并在易拉罐形状为一正圆台和圆柱组成的情况下，求解过程可仍以材料最省为最优设计，但同时要满足上、下顶面的强度要求，还要满足加工方面的要求，并建立一个广泛的最优化模型。然后假设多种情况对模型进行逐步改进，最终确定一个满足材料最省，同时又满足其他方面（如强度、美观、加工等）要求的易拉罐形状和尺寸，与实际测量值进行比较，分析其设计的合理性。对于问题四，在易拉罐顶盖厚和壁厚比例关系不变的前提下，以用料最省作为最优化设计，根据多面体中球体表面积与体积比值最小的基本原理，将易拉罐上部的圆台设计为球台。将设计

8、出的易拉罐用料与实际的相比较，并对其优点进行分析说明。对于问题五，结合前面学习和实践数学建模的亲身体验，分别对数学建模的基本认识、建模过程中的关键步骤和难点进行讨论分析。3模型假设1)所取易拉罐各面的厚度均匀2)易拉罐的顶盖和下底面都是规则的平面3)易拉罐都是规则的多面体1)不考虑温度对测量仪器的影响2)易拉罐用同一种材料制成4符号说明符号含义单位易拉罐的表面积所用材料的