专题57直线与圆的位置关系（教学案）-2017年高考数学（理）一轮复习精品资料

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1、(1)圆周角定理；(2)圆的切线判定定理与性质定理；(3)相交弦定理；(4)圆内接四边形的性质定理与判定定理；(5)切割线定理．一、圆周角、弦切角和圆的切线1．圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．[来源:Zxxk.Com]2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．3．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．圆的切线的性质及判定定

2、理性质定理　圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【特别提醒】圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题．二、圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1：圆的内接四边形的对角互补．性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．[

3、来源:]判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．【特别提醒】利用其性质或判定定理解决四点共圆问题时，要弄清四边形的外角和它的内对角的位置．注意圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及与垂径定理的联系与应用．三、与圆有关的比例线段1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．3．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长

4、的比例中项．4．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．【特别提醒】相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用．高频考点一、圆周角、弦切角和圆的切线例1.已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD.【变式探究】如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，B

5、E＝4，求弦BD的长．高频考点二、圆内接四边形的性质与判定定理例2、如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长．解：(1)证明：连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，[来源:ZXXK]∠ABD＝∠AFE，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE.∴C，D，E，F四点共圆．(2)∵

6、C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF＝GC·GD.∵GH是⊙O的切线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.又GH＝6，GE＝4，∴GF＝9.∴EF＝GF－GE＝9－4＝5.【变式探究】如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD＝AC，AE＝AB，BD，CE相交于点F.(1)求证：A，E，F，D四点共圆；(2)若正△ABC的边长为2，求A，E，F，D所在圆的半径．∴GD＝AG＝AD＝，即GA＝GE＝GD＝，所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为.由于A，E，F，D四点共圆，即A，

7、E，F，D四点共圆G，其半径为.高频考点三、与圆有关的比例线段例1、如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；[来源:ZXXK](2)AD·DE＝2PB2.【变式探究】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延长线于点E，OE交AD于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若＝，求的值．Rt△HAD中，AD2＝AH2＋DH2＝80x2.∵∠BAD＝∠DA

8、E，∠AED＝∠ADB＝90°，∴△ADE∽△ABD，可得＝，∴AD2＝AE·AB＝AE·10x.而AD2＝80x2，∴AE＝8x又∵OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，可得＝＝.1.【2016高考天津理数】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.【答案】2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲