2018年高考数学专题突破五（圆锥曲线问题）

《2018年高考数学专题突破五（圆锥曲线问题）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1．(2015·课标全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.B．2C.D.答案D解析如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则AB＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴BM＝AB＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝MN＝BMsin∠MBN＝2asin60°＝a，x1＝OB＋BN＝a＋2acos60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝，选D.2.如图，已

2、知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案B解析设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示，因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得PF′＝＝＝8.由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆的方程为＋＝1.3．(2017·太原质量预测)已知A，

3、B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案D解析设C(x1，y1)(x1>0)，D(x2，y2)，将y＝kx代入椭圆方程可解得x1＝，x2＝，则CD＝x1－x2＝.又点A(a,0)到直线y＝kx的距离d1＝，点B(0，b)到直线y＝kx的距离d2＝，所以S四边形ACBD＝d1CD＋d2CD＝(d1＋d2)·CD＝··＝ab·.令t＝，则t2＝＝1＋2ab·＝1＋2ab·≤1＋2ab·＝2，当且仅当＝a2k，即k＝时，tmax＝，所以S四边形ACBD

4、的最大值为ab.由条件，有ab＝2c2，即2c4＝a2b2＝a2(a2－c2)＝a4－a2c2，2c4＋a2c2－a4＝0,2e4＋e2－1＝0，解得e2＝或e2＝－1(舍去)，所以e＝，故选D.4．(2016·北京)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.答案2解析设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝OB＝2，又∠AOB＝，∴＝tan＝1，即a＝b.又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆

5、＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．答案－＝1解析由题意，得双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标为(，0)，(－，0)，c＝且双曲线的离心率为2×＝＝⇒a＝2，b2＝c2－a2＝3，双曲线的方程为－＝1.题型一求圆锥曲线的标准方程例1已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案D解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以运用点差法，所以直线AB的斜率为k＝，设直线方程为y＝(x

6、－3)，联立直线与椭圆的方程，得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，所以x1＋x2＝＝2，又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．(2015·天津)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1答案D解析双曲线－＝1的一个焦点为F(2,0)，则a2＋b2＝4，①双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意得＝，②联立①②解得

7、b＝，a＝1，所求双曲线的方程为x2－＝1，选D.题型二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2015·湖南)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.(2)(2016·天津)设抛物线(t为参数，p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若CF＝2AF，且△ACE的面积为3，则p的值为________．答案(1)D(2)解析(1)由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2