2018版高考数学（理）（北师大版）大一轮复习讲义：第十四章《系列4选讲》14.1 第1课时

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1、第1课时　坐标系1．平面直角坐标系设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点Μ的极坐标，记作M(ρ，θ)．当点M在极点时，它的极径ρ＝

2、0，极角θ可以取任意值．(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：或这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ(－≤θ<)圆心为(r，)，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a(－<θ<)过点(a，)，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0<θ<π)1．(2016·北京西城区模拟

3、)求在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平行的直线方程．解　点(2，)在直角坐标系下的坐标为(2cos，2sin)，即(0,2)．∴过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y＝2.即为ρsinθ＝2.2．在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3，)、(4，)，求△AOB(其中O为极点)的面积．解　由题意知A、B的极坐标分别为(3，)、(4，)，则△AOB的面积S△AOB＝OA·OB·sin∠AOB＝×3×4×sin＝3.3．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．当△AOB是等边三角形时，求a的值．解　由ρ＝4sinθ可得x2＋y2＝4y，即x2＋

4、(y－2)2＝4.由ρsinθ＝a可得y＝a.设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.在Rt△DOB中，易求DB＝a，∴B点的坐标为(a，a)．又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴(a)2＋a2－4a＝0，即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.题型一　极坐标与直角坐标的互化例1　(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程．(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系

5、的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标．解　(1)∵∴y＝1－x化成极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρ＝.∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤.(2)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρsin2θ＝cosθ，得ρ2sin2θ＝ρcosθ，所以曲线C1的直角坐标方程为y2＝x.由ρsinθ＝1，得曲线C2的直角坐标方程为y＝1.由得故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)．思维升华　(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程

6、比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．　(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ垂直于极轴的两条切线方程．解　(1)将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入x2＋y2－2x＝0，得ρ2－2ρcosθ＝0，整理得ρ＝2cosθ.(2)由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)

7、2＋y2＝1，其垂直于x轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2.题型二　求曲线的极坐标方程例2　将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出曲线C的方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．解　(1)设(x1，y1)为