常见几何体面积、体积求法与应用

常见几何体面积、体积求法与应用

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时间:2018-03-24

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1、常见几何体的面积、体积求法与应用要计算某材料的密度、重量,研究某物体性能及其物质结构等,特别对于机械专业的学生,必须要求工件的面积、体积等,若按课本上公式来计算,而课本上公式不统一,不好记住,并且很繁杂,应用时要找公式,对号入座很麻烦。笔者在教学与实践中总结出一种计算常见几何体的面积、体积方法。其公式统一,容易记住,且计算简单。对技校学生来说,排除大部分繁琐的概念、定理,以及公式的推导应用等。由统计学中的用加权平均数对估计未来很准确。比如,估计某商品下个月销售量,若去年平均销售量为y,设本月权为4,上月权数为1,下月权数为1,各月权数分别乘销售量相加后除以6等于y。这样能准确地确定下个月销售

2、量。能不能以这种思想方法用到求几何体的面积、体积呢?通过推导与实践,对于常见的几何体确实可用这种方法来求得其面积、体积。下面分别说明求常见几何体的面积、体积统一公式的正确性与可用性。常见几何体的面积、体积统一公式:(其中A为几何体侧面积,C0为上底面周长,C1为中间横截面周长,C2为下底面周长,V为几何体体积,S0为上底面面积,S1为中间横截面面积,S2为下底面面积,h为高,h0为斜高或母线长。注:中间横截面为上、下底等距离的截面。)一、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的面积、体积用统一公式的正确性1、棱柱:⑴据棱柱上底周长、下底周长、中间横截面周长相等,即,可得:,这与课本中的棱柱侧面积

3、公式等同。以下每个几何体都能推得与课本中相应公式等同,说明这统一公式的正确性。⑵据棱柱上底面、下底面、中间横截面相等,可知:,即:。2、棱锥⑴设底边长为a2,边数为n,斜高为h0,侧面三角形中位线为a1,则6,即。⑵设正棱锥底面n边形中心点与边分割成n块三角形,相应对应中间横截面也分割成n块三角形,而每块对应三角形底边,且高也为一半,即则3、棱台⑴设上底面边长为a0,中间横截面边长为a1,下底面边长为a2,则,即。⑵设正棱台为上底面中点与边所分割成三角形的高,为中间横截面相应分割成三角形的高,为下底面相应分割成三角形的高,则,即,注:以上几何体若底边长不相等时,同理可推得。6例:已知正四棱台

4、容器量得斜高为1.3m,上、下底面边长分别为0.8m和1.8m,求容器能盛多少水?解:则容器能盛2.128吨水。4、圆柱设母线长为h0,上底面半径为r0,下底面半径长为r2,中间横截面半径为r1,则r0=r1=r25、圆锥若母线长为h0,底半径为r2,中间横截面半径为r1,则6、圆台若母线长为h0,高为h,上底面半径为r0,中间横截面半径为r1,下底面半径为r2,则。6例:某圆台工件量得大头直径为36毫米,小头直径为24毫米,长为180毫米,求体积。解:∵二、常见曲线围成面积与旋转体体积1、一次函数、二次函数、三次函数的曲线所围成面积可用:⑴设一次函数:的曲边梯形面积为:而这时分别为则,代入

5、(1)可得⑵设二次函数:上的曲边梯形面积为:由分别为,则,代入(1)可得:⑶设三次函数:的曲边梯形面积为:6由分别为,即,代入(1)可得:综上所述,可得出一个结论:对于任何是由一次函数、二次函数、三次函数的曲线所围成的面积都可用:。例:求所围成的面积。解:2、球、球缺、椭球、抛物面等几何体体积可用:在所有旋转体要求体积时,若被积函数为一次函数、二次函数、三次函数据对前面推导可知,其体积都可用。如:球半径为R时,球的体积为例:求绕x轴旋转所成几何体体积。解:例:已知抛物面形水池,上口直径为m,中间直径为2m,深为4m,求体积。解:例:椭球型汽油罐,长为8m,宽为6m,高为6m,求体积。解:总而

6、言之,求常见几何体的面积、体积时,所用公式统一,只要记住:“头尾量与中间量4倍的和再与头尾距离的积”6。且公式中所需要的数据在实际中很容易得到,因此笔者认为很实用。  钢材理论重量计算的计量单位为公斤(kg)。其基本公式为:W(重量,kg)=F(断面积mm2)×L(长度,m)×ρ(密度,g/cm3)×1/1000钢的密度为:7.85g/cm3,各种钢材理论重量计算公式如下: 名称(单位)计算公式符号意义计算举例圆钢盘条(kg/m)W=0.006165×d2d=直径mm直径100mm的圆钢,求每m重量。每m重量=0.006165×1002=61.65kg螺纹钢(kg/m)W=0.00617×d

7、2d=断面直径mm断面直径为12mm的螺纹钢,求每m重量。每m重量=0.00617×122=0.89kg方钢(kg/m)W=0.00785×a2a=边宽mm边宽20mm的方钢,求每m重量。每m重量=0.00785×202=3.14kg扁钢(kg/m)W=0.00785×b×db=边宽mmd=厚mm边宽40mm,厚5mm的扁钢,求每m重量。每m重量=0.00785×40×5=1.57kg六角钢(kg/m)W=0

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