空间几何体的面积与体积

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1、第五节空间几何体的面积与体积1.空间几何体的侧面积（1）简单几何体的侧面展开图的形状名称侧面展开图形状侧面展开图圆柱_____矩形名称侧面展开图形状侧面展开图圆锥_____圆台扇环扇形名称侧面展开图形状侧面展开图直棱柱_____正n棱锥n个全等的___________矩形等腰三角形名称侧面展开图形状侧面展开图正n棱台n个全等的等腰梯形（2）简单几何体的侧面积①S圆柱侧=_____（r为底面半径，l为侧面母线长）.②S圆锥侧=____（r为底面半径，l为侧面母线长）.③S圆台侧=_________（r1，r2分别为上、下底面半径，l为

2、母线长）.④S直棱柱侧=___（c为底面周长,h为高）.⑤S正棱锥侧=_______(c为底面周长，h′为斜高).⑥S正棱台侧=_____________(c′，c分别为上、下底面周长,h′为斜高）.2πrlπrlπ(r1+r2)lch2.柱体、锥体、台体的体积公式几何体名称体积棱（圆）柱V=___（S为底面面积，h为高）棱（圆）锥V=_____（S为底面面积，h为高）棱（圆）台V=______________________(S上,S下为上、下底面面积，h为高)Sh3.球的表面积和体积公式若球的半径为R，则①S球面=_____;②

3、V球=_______.4πR2判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.（1）长方体的体积等于长、宽、高之积.()（2）锥体的体积等于底面面积与高之积.()（3）球的体积之比等于半径比的平方.()（4）台体的体积可以转化为两个锥体的体积之差.()（5）直径为1的球的表面积S=4πr2=4π.()【解析】（1）正确.长方体是一种特殊的直四棱柱，其体积V=Sh=abc（其中a,b,c分别为长方体的长、宽、高）.（2）错误.锥体的体积等于底面面积与高之积的（3）错误.因为球的体积故球的体积之比等于半径比的立方.（4）正确.由于台

4、体是由平行于锥体的底面的平面截锥体所得的在截面与底面之间的几何体，故其体积可转化为两个锥体的体积之差.（5）错误.直径为1的球的半径为故其表面积S=4πr2=答案：（1）√（2）×（3）×（4）√（5）×1.一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()（A）8π（B）6π（C）4π（D）π【解析】选C.∵正方体的体积是8，∴正方体的棱长为2，故内切球的半径r=1，∴球的表面积S=4πr2=4π.2.正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()【解析】选A.正六棱柱的表面积为6×4×6+×4×4sin60°3.直角三

5、角形两直角边AB=3，AC=4，以AB为轴旋转一周所得的几何体的体积为()（A）12π（B）16π（C）9π（D）24π【解析】选B.由题意知，该几何体是底面半径为4，高为3的圆锥，故其体积4.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的侧面积为____cm2.【解析】由三视图可知该几何体是圆锥，其底面圆半径为3，母线长l=5,∴S侧=2π×3×5=15π(cm2).答案：15π5.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是____.【解析】由三视图知该几何体为组合体，由一个正四棱锥与一个正方体叠加构成，其中正方体的棱

6、长为3，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长为3，∴V=V正方体+V正四棱锥=339×1=30．答案：30【备选考向】几何体的折叠与展开【典例】（1）如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，△ABC为等边三角形，AA′⊥平面ABC，AB=3,AA′=4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为设这条路线与CC′的交点为N，则PC=____，NC=____.（2）如图为一几何体的展开图，其中四边形ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及点P，D，C，R分

7、别共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要____个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体.【思路点拨】（1）可将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开，然后利用平面几何的知识解决.（2）将平面图形折叠后得到一个四棱锥，然后利用体积相等求解.【规范解答】（1）将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开，如图所示：设PC=x,则MP2=MA2+（AC+x）2.∵MP=MA=2，AC=3，∴x=2,即PC=2.又NC∥AM，答案：2（2）由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P-ABCD，其中PD⊥平面ABCD，因

8、此该四棱锥的体积而棱长为6的正方体的体积V=6×6×6=216，故需要个这样的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体.答案：3【互动探究】保持本例题（1）条件不变，则一只蚂蚁从B点出发沿三棱柱的三个侧面绕一周，到达B′点的最短路线的长为