2018版高中数学苏教版必修五学案：2．3.3　等比数列的前n项和（一）

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1、2017-2018学年苏教版高中数学必修五学案2．3.3　等比数列的前n项和(一)学习目标　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一　等比数列的前n项和公式的推导思考　对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边，可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?　　梳理　设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得．Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1

2、qn－1.①则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.②由①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn.当q≠1时，Sn＝.当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.结合通项公式可得：等比数列前n项和公式Sn＝知识点二　等比数列的前n项和公式的应用思考　要求等比数列前8项的和：(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？(2)若已知a1，a9，q的值．用哪个公式比较合适？　　梳理　一般地，使用等比数列求和公式时需注意：62017-2018学年苏教版高中数学必修五学案(1)一定不要忽略q＝1的情况；(2)知道首

3、项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用；(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．类型一　等比数列前n项和公式的应用命题角度1　前n项和公式的直接应用例1　求下列等比数列前8项的和：(1)，，，…；(2)a1＝27，a9＝，q<0.　　　反思与感悟　求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．跟踪训练1　若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝

4、________.命题角度2　通项公式、前n项和公式的综合应用例2　在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.　　　62017-2018学年苏教版高中数学必修五学案　反思与感悟　(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便．跟踪训练2　在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求

5、a3和q.　　　　　　　类型二　等比数列前n项和的实际应用例3　某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台？(结果保留到个位)　　　　　62017-2018学年苏教版高中数学必修五学案　反思与感悟　解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练3　一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度

6、都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？　　　　　　　1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn＝________.2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝________.3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是________．4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公

7、比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．62017-2018学年苏教版高中数学必修五学案答案精析问题导学知识点一思考　比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝＝264－1.知识点二思考　(1)用Sn＝.(2)用Sn＝.题型探究例1　解　(1)因为a1＝，q＝，所以S8＝＝.(2)由a

8、1＝27，a9＝，可得＝27·q8.又由q<0，可得q＝－.所以S8＝＝.跟踪训练1　2　2n＋1－2例2　解　由题意知解得或从而Sn＝＝(5n－1)或Sn＝＝，n∈N*.跟踪训练2　解　由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．62017