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《2018版高中数学人教版a版选修1-1学案：2.3.1 抛物线及其标准方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案2.3.1 抛物线及其标准方程[学习目标] 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.知识点一 抛物线的定义把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.知识点二 抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)(，0)x＝－y2＝－2px(p>0)(－，0)x＝x2＝2py(p>0)(0，)y＝－x2＝－2py
2、(p>0)(0，－)y＝思考 (1)抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？82017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？答案 (1)焦点到准线的距离.(2)不一定.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线.题型一 求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为(－2,0)；(2)准线为y＝－1；(3)过点A(2,3)
3、；(4)焦点到准线的距离为.解 (1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，∴p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝4y.(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2,3)代入，得32＝m·2或22＝n·3，∴m＝或n＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝y.(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.反思与感悟
4、 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).82017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案跟踪训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0
5、)或x2＝－2p1y(p1>0).把点(3，－4)分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)或x2＝by(b≠0).把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).∴所求抛物线
6、的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.题型二 抛物线定义的应用例2 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求
7、PA
8、＋
9、PF
10、的最小值，并求此时P点坐标.解 如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求
11、PA
12、＋
13、PF
14、的最小值的问题可转化为求
15、PA
16、＋d的最小值的问题.将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.82017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案∵>2，∴A在抛物线内部.设抛
17、物线上动点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知
18、PA
19、＋
20、PF
21、＝
22、PA
23、＋d.由图可知，当PA⊥l时，
24、PA
25、＋d最小，最小值为.即
26、PA
27、＋
28、PF
29、的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2,2).反思与感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.跟踪训练2 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到
30、点A(0,2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( )A.B.2C.D.答案 A解析 如图，由抛物线定义知
31、PA
32、＋
33、PQ
34、＝
35、PA
36、＋
37、PF
38、，则所求距离之和的最小值转化为求
39、PA
40、＋
41、PF
42、的最小值，则当A、P、F三点共线时，
43、PA
44、＋
45、PF
46、取得最小值.又A(0,2)，F(，0)，∴(
47、PA
48、＋
49、PF
50、)min＝
51、AF
52、＝＝.题型三 抛物线的实际应用例3 82017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案如图所示，一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛
