2017-2018学年高中数学人教b版选修4-1教学案：第一章 1.1 1.1.4　锐角三角函数与射影定理

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案1．1.4　锐角三角函数与射影定理[对应学生用书P12]　[读教材·填要点]1．锐角三角函数的定义含有相等锐角α的所有直角三角形都相似，锐角三角函数(或三角比)为：sinα＝，cosα＝，tanα＝.2．射影定理(1)定理的内容：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．(2)符号语言表示：如图若CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，则：①AC2＝AD·AB②BC2＝BD·AB③CD2＝AD·BD[小问题·大思维]1．线段的正射影还是线段

2、吗？提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，线段的正射影为一个点．2．如何用勾股定理证明射影定理？提示：如图，在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，∴AD2＋2·AD·DB＋DB2＝AC2＋BC2，即2AD·DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2.∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，∴2AD·DB＝2CD2，即CD2＝AD·DB.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·DB82017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案＝AD(AD＋DB)＝AD·AB，即AC2＝AD·AB.在

3、Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD·DB＋BD2＝BD(AD＋DB)＝BD·AB，即BC2＝BD·AB.[对应学生用书P13]　利用射影定理解决求值问题[例1]　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4，AB＝29，试求BC，AC和CD的长度．[思路点拨]　本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，AC和CD的长度．[精解详析]　∵BD＝4，AB＝29，∴AD＝25.由射影定理得CD2＝AD·BD＝25×4＝100，∴CD＝10.BC2＝BD·BA＝4×29.∴BC＝2.A

4、C2＝AD·AB＝25×29，∴AC＝5.运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理．1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶9，则tan∠BCD＝________.解析：由射影定理得CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶9，令BD＝x，则AD＝9x(x>0)．∴CD2＝9x2，CD＝3x.Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.答案：82017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案利用射影定理解决证明问题[例2]　如

5、图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F.求证：＝.[思路点拨]　本题考查射影定理的应用，利用三角形的内角平分线定理及射影定理可证得．[精解详析]　由三角形的内角平分线定理得，在△ABD中，＝，①在△ABC中，＝，②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即＝.③由①③得：＝，④由②④得：＝.将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类问题时，一定要注意对图形进行剖析．2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线交AC的延长

6、线于H，求证：DF2＝FG·FH.证明：∵BE⊥AC，∴∠ABE＋∠BAE＝90°.同理，∠H＋∠HAF＝90°∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA，∴△BFG∽△HFA.∴BF∶HF＝FG∶AF.82017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案∴BF·AF＝FG·FH.Rt△ADB中，DF2＝BF·AF，∴DF2＝FG·FH.[对应学生用书P14]　一、选择题1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，则AC等于(　　)A.　　　　　　B.C.D．解析：由射影定理知，CD2＝BD·AD，∴AD＝.∴AB＝AD

7、＋BD＝.∴AC2＝AD·AB＝×＝.∴AC＝.答案：C2．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6cm，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是(　　)A．6cmB．3cmC．18cmD．3cm解析：∵AD∶DB＝1∶2，∴可设AD＝t，DB＝2t.又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t，∴2t2＝36，∴t＝3(cm)，即AD＝3cm.答案：B3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则＝(　　)A.B．82017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案C.D．解析：如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC

8、，AB2＝